曲率与曲率圆
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核心公式
对 ，
曲率圆圆心为
对参数曲线，
必考
880 第2章综合选择 15
原题
设 有二阶连续导数，。两曲线在 处有公切线 ，且该点处 的曲率半径小于 的曲率半径，则在 的某邻域内有（ ）。
解析
两曲线在接点的斜率相同，曲率半径公式的分子 相同。由 且二阶导数均正，得，令 ，则 、，所以局部有 。又因两函数均严格凸，图像局部位于各自切线上方，而切线相同，故，选 。
1000 基础篇第5章 10
原题
已知曲线 在点 处的曲率圆为，且二阶可导函数 与 的差为 ，则（ ）。
解析
曲率圆圆心为 。半径在接点的方向向量为 ，故切线斜率为 ，即 。代入曲率圆心公式：，得 ；纵坐标公式同样给出 。因此，选 。
1000 强化篇第5章 33
原题
设圆与曲线 在 处有公切线，且它们关于 的二阶导数值相同，则该圆的方程为 ____。
解析
设圆心为 。把圆局部写成 。公切线条件为 ；对圆方程求导可知这迫使 。圆可写成，二次求导并代入 、：，曲线 满足 ，故 。圆为
拓展
1000 基础篇第5章 24
原题
曲线 在点 的曲率圆方程为 ____。
解析
，在该点 ，曲率半径为 ，圆心为 。故
1000 强化篇第5章 31
原题
设曲线由
确定，则在 对应点处的曲率为 ____。
解析
在 ，，故
1000 强化篇第5章 32
原题
设 由确定，则曲线在 处的曲率为 ____。
解析
令 。在原点 。一次隐式求导得 ；二次公式给出，即 ，所以 。曲率为
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