凸性、弦斜率与中心差分

等价刻画

对区间上的可导函数，下列结构相互对应：

若，以上条件成立；严格不等式需要额外核验严格凸性及点是否不同。

若在内可导，且严格递增，则对、，

证明模板：设中间点为，分别在与上用中值定理；两段弦斜率的严格大小由严格递增给出。端点权重时只能取等号。

若且凸，则正半轴上单调不减；若严格凹，则该比值严格递减。也可直接计算

并用切线位置判断分子符号。

若存在，则，时，两侧割线斜率的单调性给出，反向若该中点不等式对所有充分小的成立，中心差分取极限可得。

对，

的符号等于相邻两段弦斜率之差的符号。它可用于证明的严格单调性。

严格凸函数满足

对称点积分时，等号可能在单个中心点出现，不影响积分得到严格不等式。