凸性的等价刻画与不等式
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题型总纲
凸性在题目中常以六种形式出现：、 单调、切线位于图像下方、弦斜率递增、中点二阶差分非负、三点行列式定号。证明时先选与题面最接近的形式，再通过中值定理或 Taylor 公式连接。
必考
880 第2章基础选择 6
原题
设 在 上二阶可导，且 ，则 的取值范围为（ ）.
A.
B.
C.
D.
解析
选 C。严格凸性给出：对任意 ，，在 上积分：
下方没有统一界。例如取 （），始终满足积分为 ，而 可任意小。因此取值范围为 。
880 第2章基础解答 23
原题
证明下列不等式:
(I) 当 时, 有 ;
(Ⅱ) 当 e < a < b 时, 有 ;
(Ⅲ) 当 x > 0 时, 有 ;
(IV) 若 ，且 ，有
解析
(I) 函数 在 上严格凹。连接端点 、 的弦为 ，故区间内部，(Ⅱ) 在 上严格递减。由 ，
(Ⅲ) 令 。有 ，且，因为该导数在 处取得最小值 。故 与 同号，从而，(IV) 极限条件与可导性给出 、。由 ，函数严格凸，图像位于 处切线之上：，第 (I) 问同时吸收既有题“ 时 ”，令 即为同一结论。
880 第2章综合选择 1
原题
设 在 内存在导数, 严格单调减少, 且 , 则().
A. 在 和 内, 均有
B. 在 和 内, 均有
C. 在 内, ; 在 内,
D. 在 内, ; 在 内,
解析
选 A。 严格递减说明 严格凹，严格凹函数的图像位于任一点切线下方。 处切线为，故 时均有 。
880 第2章综合选择 2
原题
设 在 上二阶可导, , 当 时, 有( ).
A.
B.
C.
D.
解析
选 B。 且 ，故从原点出发的弦斜率 在正半轴严格递减。由 ，，右侧不等式等价于 。
880 第2章综合选择 17
原题
设 在 上二阶可导，且 . 当 时，下列结论中正确的是（ ）.
① ;
②
③ ;
④ .
A. ①④
B. ②③
C. ②④
D.①③
解析
选 D，即①③。严格凸性和 给出，因此 ，而 。①、③左端为负、右端为正，均成立。
880 第2章综合解答 17
原题
设 在区间 内可导, 在 内严格单调增加, 对任意的 , 且 . 证明:
解析
这是由 严格递增推出严格凸性的二点 Jensen 形式。只需可导，不需要假设 存在。
不妨设 ，记，因 ，有 ，且
与 均包含在 内， 在这两个闭子区间上连续、内部可导。分别使用中值定理，存在，使得
由 且 严格递增，
两端乘以正数 ：
代入两个距离关系并约去 ：
整理得，即所证。
若 ，交换两点并把权重换成 ，同理成立。严格不等号来自两段中值点满足 与 严格递增；若只知 单调不减，只能得到非严格不等式。
880 第2章综合解答 18
原题
设函数 在区间 内可导，行列式 .
证明:导函数 在 内严格单调递增的充分必要条件是对 内任意的 ，有 .
解析
三点行列式可化为相邻弦斜率之差：
前两个因子为正。
若 严格递增，对区间 、 使用中值定理，得到两个点 。两段弦斜率分别为 、，故 。
反之， 表明任意相邻区间的弦斜率严格递增。对任意 ，分别令左端点趋于 、右端点趋于 ，得到，所以 单调不减。若存在 使 ，则 在 上恒定， 在该区间为一次函数；任选其中三个点都会得到 ，矛盾。故 严格递增。
1000 基础篇第5章 11
原题
设在 内, , , 则函数 ( ).
(A)在 内单调减少,在 内单调增加
(B)在 和 内单调减少
(C) 在 内单调增加, 在 内单调减少
(D) 在 和 内单调增加
解析
选 B。严格凹函数的切线位于图像上方。在点 处用切线估计 ：，或由泰勒展开，结合 ，得到 。因此在 与 上均成立。
1000 基础篇第5章 16
原题
设函数 在 上可导， ， 严格单调递增，则对任意 ，有（ ）.
(A)
(B)
(C)
(D)
解析
选 D。 严格递增，故 严格凸。
在 处的切线给出，端点弦给出，所以 。
1000 基础篇第6章 18
原题
设 ，证明 .
解析
函数 在 上严格凸。Jensen 不等式给出
即左侧下界。又因 、 时 ，，该题吸收既有题“ 的对称凸性”。
1000 强化篇第5章 11
原题
设 在 上单调增加, , 则在 上().
(A) 单调增加， 单调减少
(B) 单调增加， 单调增加
(C) 单调减少, 单调增加
(D) 单调减少, 单调减少
解析
选 B。由 单调增加且 ，在 上有 ，进而 。因此，对 ，中值定理给出某个 ，使，故，两个函数均单调增加。
1000 强化篇第6章 6
原题
设 在 上二阶可导，且 . 证明：
(1) 对于任意 , 有 ;
(2)若存在常数 ，使得任意 ，均有 ，则 为常值函数.
解析
(1) 若 ，中值定理给出 ，使，若 ，则 ，乘以负数 后仍得到同一结论。因此，(2) 若某点 满足 ，第 (1) 问的切线下界随 趋于 ，与有界矛盾。若 ，令 同样矛盾。因此处处 ， 为常值函数。
1000 强化篇第6章 14
原题
设函数 在 上连续且 ，在 内二阶可导且 ，记 ，(1) 证明对任意正整数 ，存在唯一的 ，使得 ；
(2) 对(1)中得到的 , 证明 存在, 且 .
解析
严格凹性给出 （），故 ，且最大值在唯一内点 取得：，(1) 对任意正整数 ，令，有
所以 在某个内点 取得最大值，费马定理给出，又因 ， 严格递减，该解唯一。
(2) 由及 严格递减，得 。同时 ，故 。因此 。
若 ，任取 ，则 。当 足够大时 ，从而，令 得到矛盾。故 ，再由连续性得 。
1000 强化篇第6章 15
原题
设函数 在 上二次可微, 证明: 对任意 及适当小的正数 (使 , ), 不等式成立的充要条件是 .
解析
这是二阶中心差分的代表题。
若 ，则 单调不减。分别在 、 上使用中值定理，存在 ，使
整理即得，反向假设中点不等式对所有充分小的 成立。
由二阶 Peano 展开，，因此，左端对充分小的 非负，取极限得 。二次可微保证中心差分确实收敛到 。
1000 强化篇第6章 20
原题
设 ，且 ，证明： .
解析
在 存在的定义域包含 的条件下， 在 处可导。极限先给出 ，再由导数定义得到，由 ， 严格凹，图像位于任一点切线下方。取 处切线：
1000 强化篇第6章 21
原题
设 , 存在且 , . 证明：对于任意 , .
解析
由 ， 单调不增。反设存在 使 。对任意 ，中值定理给出 ，且，所以，右端为负斜率直线，充分大的 会使其小于零，与 矛盾。故处处 。
边界模板：无穷区间上，正的凹函数不能出现负导数；一旦斜率为负且继续单调不增，函数最终会穿过横轴。
拓展
1000 基础篇第6章 6
原题
设 ，证明 .
解析
积分表示最直接：，当 时，，在 上积分即得
1000 基础篇第6章 7
原题
设 ，证明 .
解析
在上一题中将正数变量换成 ：，左端化简为 。
1000 强化篇第6章 13
原题
设函数 在 上二阶可导，且 ，则（ ）.
(A) 当 时,
(B) 当 时,
(C) 当 时,
(D) 当 时,
解析
选 D。若 ，则 严格凸。对 且 ，，该严格不等式除 外处处成立，故在 上积分仍为严格不等式：
若只给 或 ，线性函数 、 使中点值等于零，可排除 A、C。 时不等号反向，中点值大于零。该题吸收既有题“凸函数的中点值与整体平均”。
题库补充：乘积与弦斜率
凸函数下的 与
来源：既有题目。
原题
设 ，且当 时，、、。当 时，判断：
解析
，所以 ，A、B 均不成立。
严格凸性和 说明弦斜率 严格递增：，于是 ，且 ，故选 D。
用凸性证明正切弦不等式
来源：既有题目。
原题
证明：当 时，，
解析
在 上严格凸，因为，凸函数图像位于端点弦下方。连接 与 的弦正是 ，结论成立。
相关概念