Taylor 公式与余项

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Peano 余项

若 在 处有 阶导数，则

Peano 余项适合求局部极限、判断最低阶非零主项和反推点处导数。

代表题：由二阶主项反推导数。

Lagrange 余项

若 在连接 的闭区间上具有到 阶的连续导数，并在开区间内存在 阶导数，则存在 介于 之间，使

Lagrange 余项适合不等式与误差上界。使用时应写出 的位置，便于调用高阶导数的界。

代表题：正弦函数的一阶 Taylor 估计。

双端点展开估计导数

固定 ，分别向 写一阶 Taylor 公式并相减， 消去， 的系数为，这可将 与 的界转化为 的界。

代表题：双端点 Taylor 展开、零端点下的统一导数界。

积分余项

若 在连接 的区间上连续，则

余项记作，当 时，令 ，得到固定区间形式：

核函数 ，且 。因此积分余项可以看成：高阶导数在 上的加权平均，再乘上 。

常用结论：

• 若 ，则

• 若 ，且 ，则

• 若 保持同号，余项符号由 与 共同决定。
• 对固定阶估计，积分余项比 Lagrange 余项更稳，因为它保留了整个区间上的导数信息。

一阶情形最常用：

从该式可以直接读出：若 且 ，则图像位于切线之上；若已知 ，则

积分余项通过积分中值定理可推出 Lagrange 余项。以 为例，因为 ，存在 ，使

触发信号：题目出现反复积分、嵌套积分、核函数 、需要保留余项符号或需要把高阶导数界转成函数值误差。

代表题：双端点 Taylor 展开。延伸专题：卷积核、反复积分与 Taylor 积分余项。

中心差分

二阶 Peano 展开给出

它是局部凸性与二阶导数之间的直接桥梁。

代表题：中心差分与凸性。

题型训练

• Taylor 公式与导数估计
• 凸性与中心差分
• 高阶导数与 Taylor 系数

一元积分题型训练

• 凸凹性与 Hermite-Hadamard 不等式
• Cauchy、Poincare、Taylor 核与求积误差