凸凹性与 Hermite-Hadamard 不等式

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方法选择

凸函数积分估值优先使用 Hermite-Hadamard：中点值控制下界，端点平均控制上界。
对称区间把与配对，凸性直接转化为点对平均不等式。
已知端点值时，用弦线控制函数；已知切点信息时，用切线控制函数。
含指定权重的积分不等式，可先用 Taylor 积分余项消去常数项、线性项，再检查余下核函数符号。

必考

880 第3章基础选择 7

原题

设在上连续，，记，则（）.

解析

严格减少，故，即。又严格凸，Hermite-Hadamard 不等式给出，所以，选。

880 第3章基础解答 11

原题

设在上具有二阶导数 , 且 , 证明:。

解析

对，严格凸性给出，在上积分：

整理即得结论。

880 第3章综合选择 2

原题

设，在内有，则（）.

D. 不能确定

解析

由得。严格凸性给出，对任意，，因此，选。

880 第3章综合选择 6

原题

设函数在上有二阶连续导数，且，则下列选项中正确的是（）.

解析

记，由的 Taylor 积分余项，，线性项代入后恰好抵消。交换积分次序得到，故选。系数的作用正是消去这一线性主项。

880 第3章综合解答 22

原题

设在上二阶可导，且，证明：

解析

记。严格凸性给出，积分后得到左侧不等式。

又严格凸函数在内严格位于端点弦线下方：，在上积分，弦线的平均值为，得到右侧不等式。

880 第3章综合解答 48

原题

设非负函数在区间上有连续的二阶导数，且，证明：

(I) 当时，有 ; (Ⅱ)

解析

（I）固定。凹函数在弦线上方，所以对，，积分得，（Ⅱ）将（I）对积分，并交换次序：

整理得

880 第3章拓展题 3

原题

设在上有二阶导数，且，证明：当时，有 .

解析

严格凹且两端为零，所以于。

固定。在、上分别用两条端点弦线控制，曲线严格位于弦线上方，故

整理即得

1000 基础篇第8章 12

原题

设在上单调连续, , , 且对任意 , 总有 , 是的反函数, , 则().

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

题设中点不等式说明严格凹。结合端点值与单调性，严格增加。反函数面积公式给出

严格凹函数位于端点弦线上方，故；又于，故该积分小于。因此，选。

对话补充题

凸函数的区间缩放

原题

设在上凸、非负且，比较与。

解析

对，由凸性

所以

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