导数定义与局部线性化

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题型总纲

若在处可导，则，题目中的自变量常被改写成。先确认，再用局部线性式；遇到差商时，还要保留与外层分母的比值。

必考

880 第2章基础填空 4

原题

设存在，，且，则 ____。

解析

令，则。取对数：

故

条件只含的主项，无法确定导数符号。

880 第2章基础填空 10

原题

设是连续函数，且，则____。

解析

令，则，由连续性得，进而。记，局部线性化给出，于是

880 第2章基础解答 11

原题

设函数在处连续，且，证明：在处可导，并求。

解析

先提取幂指函数的最低阶主项：，原条件化为，故。连续性又给出，所以

模板：含未知函数的极限先把已知部分展开到分母同阶，再将剩余极限整理成导数差商。

1000 基础篇第3章 1

原题

设，且存在，则____。

解析，而，，故极限为

1000 基础篇第3章 3

原题

设连续函数满足，且，则的值为（）。

解析

令，则，且。因此，再令：，选。

1000 基础篇第3章 5

原题

设，且，则 ____。

解析

当时，，等价于，夹逼得

1000 基础篇第3章 6

原题

设可导函数，则____。

解析

令。由，

1000 基础篇第3章 12

原题

设在处可导，，则____。

解析

两端分别在处线性化：

又、，故极限为

1000 强化篇第3章 4

原题

设函数在区间内有定义，且在处连续。判断：

当时，在处可导；
当时，在处可导；
当在处可导时，。

所有正确结论的序号为（）。

(A) ①
(B) ②
(C) ②③
(D) ①②

解析

②中，连续性给出，从而，所以可导且。

①可取；它满足，在处不可导。③可取常函数。故只有②正确，选。

1000 强化篇第3章 15

原题

已知在曲线上，且曲线在该点与有公共切线，则

____。

解析

公共切线给出，因此

1000 强化篇第3章 16

原题

设在处可导，且，计算，

解析

故

1000 强化篇第3章 20

原题

已知函数在处可导，且，求。

解析

线性化得

分子含常数项；极限有限，故。比较系数：，所以

1000 强化篇第3章 21

原题

设是非负连续函数，且，求。

解析

极限有限且分母趋于，故。由非负性，。分解为

第二个因子趋于，所以第一个因子的极限必存在，在处可导，且，所以。

1000 强化篇第3章 22

原题

已知，可导函数在处取得极值。计算，

解析

Fermat 定理给出。同时，因此，所求极限为。

拓展

1000 基础篇第3章 4

原题

设在处可导，，则____。

解析

1000 基础篇第3章 9

原题

设函数在处可导，是自变量增量为时的函数值增量，则（）。

解析

，，故极限为，选。

1000 基础篇第3章 13

原题

设为在处可导的奇函数，则____。

解析

奇函数给出。由，极限为

1000 强化篇第3章 2

原题

设恒成立，，其中为非零常数，则在处（）。

(A) 可导且
(B) 可导且
(C) 可导且
(D) 不可导

解析

选。

1000 强化篇第3章 7

原题

设，，求，

解析

提取共同指数：

将指数中的增量直接除以：

又有，且，故原极限为

1000 强化篇第3章 18

原题

设，则 ____。

解析

在处，分子为、分母为，故商法则只留下分子的导数：

1000 强化篇第3章 19

原题

设，则____。

解析

原条件同时给出。拆成复合差商：

题库补充

作分母时回到导数定义

原题

设在处连续，且，证明

若只知，求同一极限，并说明可用条件的边界。

解析

两问都可直接拆为

第二问只给出点态导数，以上证明仍完全成立。洛必达法要求在的去心右邻域内可导，并要求有极限；仅知时没有这些条件。第一问的导函数连续条件可以支持洛必达，但超出了本题所需条件。

由二阶小量条件反推

原题

设，在上有定义，，且，证明在处可导，并求。

解析

目标差商为。把题设改写为

由，且题设左端整体趋于，可直接隔离差商：

故

标准函数的二阶主项也可由积分直接验证：

令，则

积分表示把扣除线性项后的二阶余量化为固定区间上的加权平均。

考研笔记