Cauchy、Poincare、Taylor 核与求积误差

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方法选择

平方积分的乘积使用 Cauchy 不等式；端点为零时，把函数写成导数的积分，再按端点条件选择左端或右端表示。
求积误差统一写成。核不变号时，可直接使用积分中值定理；只需估计时，使用。
Riemann 和误差精确到时，在每个小区间对作一阶展开，并利用的一致连续性控制总误差。
二阶导数总变差题先用 Lagrange 中值定理找出左右两侧的导数值，再由控制导数差。

必考

880 第3章综合解答 21

原题

设在上有二阶连续导数，且，证明：

解析

对右端积分连续分部积分两次：

两次边界项分别由与消失。

880 第3章综合解答 23

原题

(Ⅰ) 设与均在上连续, 证明:

（Ⅱ）设在上有连续导数，且，证明：

解析

(Ⅰ) 对任意实数，，右端是关于的二次多项式，其判别式不大于零，故

等号成立当且仅当与在上成比例。

(Ⅱ) 记。当时，，由 Cauchy 不等式，，积分并交换积分次序：

同理，利用，

两式相加即得结论。

880 第3章拓展题 5

原题

设在上有连续的二阶导数.

（I）证明：

(Ⅱ) 记 , 证明: .

解析

(Ⅰ) 令。由于，分部积分两次得

移项即得题设恒等式。

(Ⅱ) 在上，，且

由（Ⅰ），

880 第3章拓展题 6

原题

设在上有连续的二阶导数，且 .

证明：存在一点，使得 .

解析

记。由上一题的梯形公式，误差为，又，故可向核函数中加入常数：，核非负。由积分中值定理，存在，使

880 第3章拓展题 8

原题

设在上有连续的二阶导数，且 .

（I）证明：

（Ⅱ）若对任意的有，证明：对任意正整数，

解析

(Ⅰ) 在处使用 Taylor 公式。由，

在上积分；一次项的积分为零，因此

(Ⅱ) 由周期性，，又。梯形公式的误差估计给出，故

880 第3章拓展题 9

原题

设在上有连续的导数, , 证明:

解析

记。在区间上，，其中由在上一致连续，存在，使，因此

且。求和并乘以：

880 第3章拓展题 10

原题

设在上有连续的二阶导数, 不恒为零, 且 , 在处取得最大值, . 证明:

（I）至少存在点，使得 (Ⅱ)

解析

设。由 Lagrange 中值定理，分别存在，使

(Ⅰ) 直接计算得

(Ⅱ) 由微积分基本定理与三角不等式，

最后一步使用。

880 第3章拓展题 11

原题

设在上有连续的二阶导数，且 . 证明： (I) (Ⅱ) 存在，使得 .

解析

记。Taylor 公式给出，(Ⅰ) 在上积分，一次项消失，故

(Ⅱ) 更精确地交换 Taylor 积分余项的积分次序，可得

两个核均非负，且核的总积分为。由积分中值定理，存在使

880 第3章拓展题 12

原题

设在上有连续的二阶导数, 证明: （I）存在，使得（Ⅱ）若在内取得极值，则存在一点，使得

解析

(Ⅰ) 令，则，且，在点写 Taylor 积分余项并分别对、积分，奇函数型的一次项相消，得到

其中

由积分中值定理，存在，使

(Ⅱ) 记，。由于，从到积分可得

时也由成立。因此，若端点差非零，可在开区间内取充分接近最大值的点，使，端点差为零时结论直接成立。这个估计实际不需要额外使用内点极值条件。

1000 基础篇第11章 9

原题

设在上连续，，证明：当时， .

解析

由两个端点条件，，因此

1000 基础篇第11章 10

原题

设在上连续，且，证明：，其中 .

解析

由，，故

1000 基础篇第11章 11

原题

设，证明：当时，有 .

解析

利用分部积分：

于是

还可令，写成，正且单调减少。由积分第二中值定理，存在使，所以。这条路线显式利用了振荡抵消。

1000 强化篇第8章 6

原题

设在上连续，，则 ____.

解析

移项并补平方：

其中。平方积分非负，故它只能为零。由连续性，

1000 强化篇第11章 1

原题

设在上可导，当时，，则（）.

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

构造，则，由，可知。于是可以除以：，在上积分，，即，选。

1000 强化篇第11章 2

原题

设函数是上的连续函数, 利用分部积分法证明:

解析

令，，且，分部积分得

第一项令，第二项令，得到

即题设等式。

1000 强化篇第11章 4

原题

证明：

解析

积分区域满足，交换积分次序后为，因此

1000 强化篇第11章 6

原题

设在上可导，且连续， . 证明： .

解析

由与 Cauchy 不等式，

对积分即得

拓展

880 第3章拓展题 7

原题

设有二阶连续导数, .

（I）证明：当时，有

（Ⅱ）在第（Ⅰ）问的基础上，证明：

解析

(Ⅰ) 由，有。对任意，，由，

(Ⅱ) 由两个端点均为，，因此

补充题

两端为零时的帐篷上界

原题

设，，记，证明，

解析

由两个端点分别估计同一点：

故，积分得到

是由两个端点共同确定的最直接点态上界。

考研笔记