Riemann 和：宽度、取样点、区间与扰动
🏠 第8章概念导航 · 题型训练 · 第三部分题库
速记
识别离散和式时依次检查：
- 求和指标走过多少项；
- 每项对应的小区间宽度是多少；
- 函数自变量落在哪个小区间；
- 全部小区间覆盖哪个积分区间；
- 被积函数在端点是否有界；
- 附加因子或取样点扰动能否一致控制。
标准等分形式为
其中。若在上连续，则
一、先找小区间宽度
宽度常藏在根式、分母或整体系数中。先提出或，再整理函数自变量。
例题：从根式中提出宽度
求
提出后得到
这里的是宽度，是右端取样点。完整题目与解析：1000 基础篇第8章 16。
二、取样点可以位于小区间内任意位置
把等分成段。只要，就可将作为第段的取样点。常见形式包括：
- 中点：；
- 凸组合：，；
- 几何平均：；
- 均方根：；
- 调和平均：两个正端点的调和平均。
调和平均含端点时可能无定义。此时应单独处理第一项，或从开始核验。
例题：宽度决定积分值
设在上连续，判断的极限。由于
取样点位于第个小区间内，宽度为，故极限为。完整选择题：1000 基础篇第8章 1。
例题：中点与权函数同时出现
设，则
是第段中点，因此极限为。完整题目与解析：1000 强化篇第8章 2。
三、由宽度和取样点确定积分区间
积分区间不能只看求和项数。若宽度为，取样点从附近走到附近，对应区间为。
当上端点是变量时，固定并令：
同时给出小区间宽度和取样点步长。
例题：变上限积分函数
设
令，得到，若继续研究，先用变上限积分求。完整题目与拐点分析：1000 强化篇第8章 18。
例题：先固定参数，再放大区间
设
取，宽度为，于是
先完成，再令，可得极限。完整解析：变动上限的 Riemann 和。
四、端点无界时先核验反常积分
若在闭区间上连续或只有可去间断点，可直接使用通常的 Riemann 和结论。若在端点无界，定积分应理解为反常积分，还要证明离散和式确实收敛到该反常积分。
对正值单调函数，常用端点截断加积分比较：先固定处理，再统一控制靠近的有限段。
例题：可去端点
将
看作在上的 Riemann 和。因为，补定义后函数连续，故极限为，完整题目与解析：1000 基础篇第8章 2。
例题：无界端点
对，在处无界，但收敛。利用单调性作积分比较，可得和式极限为，仅知道反常积分收敛还不足以套用通常的 Riemann 和定义；这里的单调性提供了端点部分的统一控制。完整解析：1000 基础篇第8章 9。
五、扰动必须统一控制
取样点扰动
若在上连续，与标准取样点满足，则由的一致连续性，两个 Riemann 和之差趋于。
乘法扰动
若有界，且附加因子满足，则
非线性扰动
出现、等结构时，展开式必须对全部一致成立，并核验求和后的总余项。
例题：对数的总余项
若在上可积，则有界。对
有一致展开
项余项之和为，故极限为。完整选择题：1000 强化篇第8章 3。
六、和式与积分之差
若题目研究，应比较每个单位区间上的与，并计算。单调性可同时给出数列的单调方向和上下界。
例题：离散和减积分的收敛性完整证明。
相关概念