考研笔记

Riemann 和与离散和式极限

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方法选择

  • 先把每项写成 ；系数、采样点和求和项数共同决定积分区间。
  • 含 时先统一控制 ，再用 。
  • 被积函数在端点无界时，先确认对应反常积分收敛，再使用广义 Riemann 和结论。
  • 和式与积分之差构成数列时，直接研究相邻两项之差，并用每个小区间上的单调性建立上下界。

必考

880 第3章综合填空 9

原题

____.

解析

写成 Riemann 和：

令 ，被积函数变为其相反数，故积分等于 。

880 第3章综合解答 46

原题

设 在 上连续且单调减少, ( ), 证明: 存在.

解析

由 单调减少，

所以 单调减少。另一方面，，其中每个方括号均非负。因此 单调有下界， 存在。

1000 基础篇第8章 2

原题

____.

解析

原式为

在 处的反常积分收敛。分部积分得

1000 基础篇第8章 16

原题

____.

解析

提取 ：

故极限为单位圆第一象限的面积：

1000 强化篇第8章 2

原题

设 连续，则 .

(A) (B) (C) (D)

解析

令 ，则

原和式是中点 Riemann 和，极限为

选 。

1000 强化篇第8章 3

原题

设 在 上可积，则 .

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

可积函数 在 上有界。设 ，则当 足够大时，

且余项对所有 一致。求和后总余项为 ，所以

选 。

1000 强化篇第8章 18

原题

设 , 求:

(1) 的表达式; (2) 曲线 的拐点.

解析

当 时，令 ，相邻采样点之差为 ，故

时同样成立。因此

设 ，则

与 都是奇函数。 时 ，从而 ； 时 。所以曲线只在 处改变凹凸性，拐点为

拓展

1000 基础篇第8章 1

原题

设函数 在区间 上连续，则 .

(A) (B) (C) (D)

解析

选项 B 中取样点位于第 个小区间 内，宽度为 ，故其极限为 。选 。

1000 基础篇第8章 9

原题

解析

改写为

对应的反常积分收敛，故

1000 强化篇第8章 1

原题

计算 。

解析

利用，原式可拆成

第二因子趋于

故极限为 。

1000 强化篇第8章 19

原题

设 ， 且 ，则

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

与求和指标 无关。由 及 可知 是有限常数。于是

极限为

选 。

对话补充题

变动上限的 Riemann 和

原题

设

求 。

解析

令 ，步长 。原和式化为，故，再令 ：

因此

固定 后先取 ，积分上限自然是 ；随后再取 ，得到反常积分 。

补充题

宽度的统一微扰

原题

设，求

解析

提出标准宽度：，对，

该因子对全部一致趋于，且，所以原和式与之差趋于。因此

也可用和直接夹逼。

高度的统一微扰

原题

求

解析

写成

因为，故对全部一致趋于。原式与标准 Riemann 和同极限：

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