反常积分危险点：局部等价与比较判敛
判敛顺序
- 列出全部危险点：无界端点、区间内部奇点、无穷远。
- 将反常积分在各危险点处分开定义。
- 分别求局部主项。
- 与型积分或对数幂模型比较。
- 每个局部积分均收敛，原积分才收敛。
闭区间内部的连续部分一定可积，无需参与敛散判断。
两个型标尺
有限端点附近：
无穷远处：
例：有限端点与无穷远必须同时检查
判断下列积分中收敛的一项：
前两项在无穷远均为阶；第四项在附近为阶。第三项在附近为阶，在无穷远为阶，故只有第三项收敛。完整题目：1000 强化篇第8章 16。
局部换元只保留对应危险点
研究时，与要分别处理。
当时，，局部主项为，要求。
当时，令，则
局部主项为，要求。因此一般条件为
若题设另给，再写成、。
注：换元只是帮助理解
等价比较
若在某个危险点附近
且最终同号，则，可直接比较绝对收敛性。若被积函数变号或依赖抵消，应另行检查条件收敛，不能只比较绝对值主项，如本身收敛，但发散。
例：先展开复合函数，再读取幂次
判断
的收敛范围。由，得到
被积函数为阶，故收敛条件为。完整题目：1000 强化篇第8章 14。
与级数判敛的边界
反常积分的等价比较在非零主项确定后即可使用。级数比值判别若得到，结论仍不确定，需要继续读取下一阶修正。两种方法的“临界”含义不同。
注：
关键点其实不是“反常积分 vs 级数”，而是比较的东西不一样。反常积分这里说的是“等价比较”，而级数那里说的是“比值判别法”。这两个“比”完全不是一回事。
例如反常积分中，若 时 ，也就是 ，那么已经找到了一个明确的参照物 。因为 收敛，所以 也收敛。类似地，若 ，因为 发散，所以原积分也发散。这里极限等于 反而是非常强的信息： 与一个“已知敛散性”的函数具有相同主项。
但级数的比值判别法考察的是同一个数列前后两项的比值 。例如取 ，有 ，但调和级数 发散；再取 ，仍然有 ，但 却收敛。甚至所有 -级数 都满足 ，可是 收敛、 发散。因此“比值极限 ”只能说明：它不像几何级数那样存在明显的指数衰减或增长，至于多项式衰减到底有多快，信息还没读出来。
所以这时候需要“继续读取下一阶修正”。例如 时，不只看它趋于 ，而是展开成 。这里真正区分敛散的是 中的系数 ： 对应收敛， 对应发散，这正是拉贝判别法背后的思想；而 又到了新的临界点，还得继续看更细的项。
所以你最好把这句话改成脑中的版本：“”是在把对象和一个已知标准对象比较，因此通常已经足够判敛；“”只是发现相邻两项越来越接近，并没有告诉我 究竟像 、 还是 ，所以完全判不了。
甚至级数本身如果也做“等价比较”，一样非常好用：若 ，则 收敛；若 ，则 发散。因此真正的区别是：等价比较的极限 是好消息；比值判别的极限 是失效边界。
TODO：后续补充拉贝判别法并链接过去
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