考研笔记

反常积分瑕点与参数临界阶

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方法选择

  • 先列出全部危险点：有限端点、区间内部零点、无穷远；每个危险点都必须单独收敛。
  • 在危险点只保留最低阶主项，化到 或 。
  • 对称区间上的奇函数只能说明 Cauchy 主值可能存在，不能代替反常积分两侧分别收敛。
  • 含参数题把每个危险点给出的条件取交集，临界等号单独代回检查。

必考

880 第3章基础选择 11

原题

下列反常积分中收敛的是().

A.

B.

C.

D.

解析

A 在无穷远等价于 ，收敛。B 在 附近等价于 ；C 在内部点 附近等价于 ；D 在两端趋于 ，后三项均发散。选 。

880 第3章综合选择 8

原题

设反常积分 收敛，则下列选项中正确的是().

A.

B.

C.

D.

解析

当 时，，被积函数等价于 ，故收敛条件为 ，即 。选 。

880 第3章综合选择 12

原题

设反常积分 收敛, 则().

A.

B.

C.

D.

解析

在 附近，，要求 ；在无穷远，，要求 。故 ，选 。

880 第3章综合选择 14

原题

设积分 (p>0) 收敛, 则 p 的取值范围为().

A.

B.

C.

D.

解析

在 附近，被积函数等价于 ，要求 ；在无穷远等价于 ，要求 。所以 ，选 。

1000 基础篇第8章 14

原题

若反常积分 收敛, 则( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

在 附近，被积函数等价于 ，要求 ；在无穷远等价于 ，要求 。故 ，选 。

1000 基础篇第8章 21

原题

设 为常数, 收敛, 则( ).

(A) 且

(B) 且

(C) 且

(D) 且 .

解析

当 时，，被积函数主项为 ，要求 。

当 时，令 ，有 、，故主项为 ，要求 。选 。

注：。当时，，故。

1000 基础篇第8章 24

原题

设 ，则 （ ）.

(A)为反常积分,且发散

(B)为反常积分,且收敛

(C)不是反常积分,且其值为10

(D)不是反常积分,且其值为

解析

令 ，由题设，所以 ，在积分区间内部 处有一阶极点，反常积分发散。选 。

1000 强化篇第8章 10

原题

设 为正常数, 若 收敛, 则( ).

(A) (B) (C) (D)

解析

在 附近， 对 收敛；在 附近，，要求 。结合 ，得到 ，选 。

1000 强化篇第8章 12

原题

设 为常数, 若反常积分 收敛, 则 的取值范围是( ).

(A) (B) (C) (D)

解析

在 附近主项为 ，要求 ；在 附近主项为 ，要求 。所以 ，选 。

1000 强化篇第8章 14

原题

若反常积分 收敛, 则 的取值范围是 ____.

解析

由，被积函数等价于 ，故 。

拓展

1000 基础篇第8章 13

原题

下列反常积分中, 发散的是().

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

A、B、C 均绝对收敛。D 的被积函数在无穷远等价于 ，两侧反常积分分别发散；奇性只能给出对称主值。选 。

1000 基础篇第8章 15

原题

下列反常积分收敛的是( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

A 为对数临界型，发散；B 在 附近有界、在无穷远指数衰减，收敛；C 在 处等价于 ；D 在 处等价于 。选 。

1000 强化篇第8章 9

原题

设常数 ，则 （ 是取整符号）的敛散性（ ）.

(A)仅与 有关 (B)仅与 有关 (C)与 均有关 (D)与 均无关

解析

当 时，，而 在 附近可积。因此对任意 均收敛，选 。

1000 强化篇第8章 15

原题

下列反常积分中发散的是( ).

(A) (B) (C) (D)

解析

C 在区间内部 处有瑕点，且 ，所以被积函数等价于 ，发散。A、B、D 均收敛。选 。

1000 强化篇第8章 16

原题

下列反常积分中收敛的是( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

A、B 在无穷远都等价于 ，发散；D 在 附近等价于 ，发散；C 在 附近为 阶，在无穷远为 阶，两处均收敛。选 。

对话补充题

指数积分与对数的同阶关系

原题

求。

解析

为有限常数，分子的发散只来自 。分子、分母均趋于 ，且在 上可导，故可用洛必达法则：

补充题

的两端判敛与倒数对称

原题

判断的敛散性，并求其值。

解析

在上，；在上，。两个比较积分均收敛，所以原积分绝对收敛。

令，利用绝对收敛保证换元合法：

故。

幂与对数的临界指数

原题

分别判断

的敛散性。

解析

对第一式令：

故在时收敛，在时发散。

对第二式令：

故在时收敛，在时发散。临界点均化为。

相关概念

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