反常积分计算与对称变换

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方法选择

• 先确认收敛，再使用分部积分、倒数换元或区间拼接。
• 上含 的积分优先尝试 ；若其余权函数在倒数换元下不变，积分常直接变号。
• 连续小区间积分的无穷和可先拼成一个反常积分，再统一换元。

必考

880 第3章综合填空 8

原题

____.

解析

令 ：，分部积分，边界项在无穷远趋于零：

故 。

1000 强化篇第9章 28

原题

解析

该积分绝对收敛。令 ，权函数满足，而 变为 ，所以 。故 。

拓展

1000 基础篇第9章 35

原题

解析

部分分式分解：

1000 强化篇第9章 5

原题

解析

各区间首尾相接，所以

令 、：

相关概念

• 反常积分危险点与局部比较
• 定积分对称与区间拆分