第10章：积分的几何应用 题库入口：一元积分及其应用题库 核心概念 几何微元与建模 积分几何微元总图 弧长公式的微元推导 参数变换下的面积元 形心与质量加权平均 几何量的相关变化率 计算、定义域与收敛性 积分对象与微积分基本定理 定积分的对称、奇偶与区间拆分 反三角恒等式与主值分支 Wallis 递推与三角幂积分 反常积分危险点与局部比较 对数幂型反常积分的临界阶 估计工具 积分第二中值定理 加权平均与单调型洛必达 题型训练 平面面积、区域分割与几何最值 弧长与曲线定义域 体积、旋转曲面与旋转轴 无界区域与几何积分极限 形心、重心与一阶矩 复习顺序 画出区域并确定真实边界、交点和定义域。 选择竖切、横切、圆盘、圆环或柱壳微元。 参数曲线先核验方向与重复描迹，再写面积或弧长。 旋转问题将半径写成到旋转轴的距离。 无界区域先判面积或体积积分收敛，再计算几何量。 形心与重心按一阶矩除以总面积或总质量计算。