形心、重心与一阶矩

方法选择

平面薄片区域为、，面密度为常数时，

密度不均匀时，将面积元换成质量元：

原题

设函数在区间上非负, , 且 . 有一块质量均匀分布的平板 , 其占据的区域是曲线与直线以及轴围成的平面图形. 用表示平板的质心的横坐标(见图). 证明: .

解析

由，严格凸。对，，故在上严格递增且非负。

平板面积与关于轴的一阶矩分别为

在权函数下，与同为严格递增函数。严格 Chebyshev 积分不等式给出

约去公共因子可得

严格性来自严格递增；时为常数，形心横坐标恰为。

原题

设有半圆形板: , 它在点的密度与点到原点的距离成正比, 则半圆形板的重心坐标为( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

设面密度为。关于轴对称，故。在极坐标下，

所以，重心为，选。

原题

曲线与直线，及轴所围平面有界区域的形心为 ____.

解析

区域为、。其面积，横坐标为

纵坐标为

故形心为