积分几何微元总图

面积

竖切时， $上下$ ，横切时， $右左$ ，极坐标曲线与极点围成的面积为，积分区间由真实边界和曲线定义域共同决定。曲线相交、绝对值变号、参数方程换向都需要分段。

截面面积为时，，圆盘或圆环法：，柱壳法： $到旋转轴的距离条带高度条带位置$ ，半径始终是到旋转轴的距离。旋转轴为时，函数值对应的半径为；旋转轴为时，半径为。

设曲线与旋转轴围成的区域适合用垂直于的圆盘切片，且曲线在旋转轴方向上的投影不重叠。曲线上一点到轴的距离为，曲线投影到旋转轴方向的微元为，因此

使用前要核验投影是否单调、截面是否为完整圆盘以及积分是否重复覆盖实体。

若旋转轴与区域内部不相交，平面区域绕同平面内直线旋转所得体积为，其中为区域面积，为区域形心到旋转轴的距离。

若旋转轴与曲线内部不相交，曲线旋转所得曲面面积为，其中为曲线长，为曲线形心到旋转轴的距离。旋转轴穿过区域时，直接套用形心行程可能把重叠部分重复计数，应回到圆盘、圆环或柱壳积分。

直角坐标曲线：，参数曲线：，极坐标曲线：，根式中出现的量必须在积分区间内有意义；参数曲线还要检查是否重复描迹。

弧长微元为，曲线到旋转轴的距离为，则，例如绕轴旋转：，参数曲线绕轴旋转：

均匀薄片的形心为

区域由给出时，