平面面积、分割与几何最值

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方法选择

• 先求交点与上下边界，再决定竖条还是横条；面积始终按“上减下”或“右减左”。
• 面积分割题把分割位置设为参数，利用变上限积分求导；面积比唯一性通常来自分子严格增加、分母严格减少。
• 极坐标面积元为 。
• 面积条件反求微分方程常数时，应确认曲线位于坐标轴哪一侧；若题干未给符号，绝对面积可能产生多个分支。

必考

880 第3章基础填空 8

原题

设 ，则曲线 与两坐标轴所围成图形的面积为 ____.

解析

交换积分次序：

指数的导数为 ，故

880 第3章基础解答 17

原题

设曲线 ，直线 与 所围面积为 ， 与 所围面积为 ，求 的最小值.

解析

令交点横坐标为 ，则 ，。面积和为

求导得，所以最小值在 取得，

880 第3章综合解答 32

原题

设 在 上可导, 与 为如图 3-1 所示阴影部分的面积, 证明: 存在唯一的 , 使得 ( 为正的常数).

图3-1

解析

按图中水平线 分割两侧面积，可写成

由 ，

因此 严格增加。并且当 时该比值趋于 ，当 时趋于 。由连续性，对每个 都存在唯一 使 。

1000 基础篇第10章 3

原题

如图所示, 抛物线 把曲线 与 轴所围成的闭区域分成面积为 与 的两部分, 则( ).

(A)

(B)

(C)

(D) 与 的大小关系与 的数值有关

解析

两抛物线除原点外的交点满足，故 。被切出的面积为

原区域总面积为 ，所以两部分面积相等，选 。

1000 基础篇第10章 4

原题

过点 作曲线 的切线(见图), 设该曲线与切线及 轴所围成的图形的面积为 , 曲线与直线 及 轴所围成的图形的面积为 , 则( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

曲线下方面积，切线位于凹函数 上方，，因此

选 。

1000 基础篇第10章 12

原题

曲线 与其过原点的切线及 轴所围图形的面积为( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

过原点的切线切于 ，方程为 。两曲线在 间围成区域，面积为，选 。

1000 强化篇第10章 4

原题

设函数 满足方程 ，且 ，求曲线 与 轴正半轴之间的平面图形的面积及该平面图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体体积.

解析

极限条件给出 。解微分方程得

区域面积为

绕 轴用柱壳法：

1000 强化篇第10章 9

原题

设函数 在 上连续，在 内可导，且满足 . 已知曲线 与 所围的图形 面积为2. 求 的表达式，以及图形 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.

解析

微分方程给出

若按题目常用的正面积分支 ，则，所以 ，

旋转体体积为

边界说明：若“面积为 2”按 理解，且未补充 ，还存在负分支 ，其体积为 。题目需要正性条件才能保证上面的唯一答案。

拓展

880 第3章综合解答 31

原题

设曲线 与 在点 处有公切线. 求:

(I) 常数 a 及点 ;

（Ⅱ）两曲线与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

解析

相交且切线相同给出

解得

绕 轴用垫片法：

1000 基础篇第10章 1

原题

曲线 在区间 上与 轴所围成的图形的面积为 ____.

解析

配方后

1000 基础篇第10章 2

原题

曲线 在 上与 轴所围成的图形的面积是 ____.

解析

令 ：

1000 强化篇第10章 1

原题

曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ____.

解析

对隐函数求导：

切线为 ，两轴截距为 ，三角形面积为 。

1000 强化篇第10章 2

原题

曲线 与 及 所围图形面积为 ____.

解析

极坐标面积为

1000 强化篇第10章 3

原题

若曲线 所围图形的面积为 ，则 ____.

解析

心形线面积

由 ，得 。

1000 强化篇第10章 18

原题

设 ，求曲线 与 轴所围成的封闭图形的面积.

解析

直接积分得

零点为 ，且 在其间非正。所围面积为

补充题

伯努利双纽线的总面积

原题

求伯努利双纽线围成的图形总面积。

解析

曲线存在要求，即。右瓣对应，面积为

左右两瓣全等，所以

极坐标面积题先由或的定义条件确定角域，再使用对称性取倍数。

相关概念

• 积分对象与微积分基本定理
• 定积分对称与区间拆分