弧长与曲线定义域

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方法选择

显函数、参数曲线、极坐标曲线分别使用、、。
隐函数若能解成，优先改用作参数。
根式积分定义的曲线先由“根号内对全部积分变量非负”确定完整定义域，再求弧长。
估计弧长时使用，把问题转成函数的总变差。

必考

880 第3章综合解答 33

原题

求曲线的全长.

解析

令：，原积分对全部为实数，要求，所以。由变上限积分求导，，全长为

1000 基础篇第10章 11

原题

已知函数由方程所确定, 则曲线从点到点的长度为 ____.

解析

由隐式方程解出，于是

故

1000 强化篇第10章 21

原题

设函数满足 , 为曲线 , 且 , 记的长度为 . 求:

(1) s ;

(2) 的最大值.

解析

由题意，结合得，在上，所以

给出，且导数由正变负，故最大值为

1000 强化篇第10章 22

原题

设连续函数满足，，其中。

(1) 利用换元求的表达式; (2) 令，求曲线的全长：

解析

令，原方程化为，由初值得

为了对所有保持实值，取。于是

全长

1000 强化篇第10章 23

原题

设非负函数是微分方程满足条件的解，求曲线的弧长.

解析

微分方程给出，在上取非负解。因此，令：，在上，故

1000 强化篇第11章 9

原题

设在上具有二阶导数, , , . 记曲线在上的长度为 , 证明:

(1) 存在，使得对任意，有；

(2) .

解析

严格凹性与两端点为零给出于。由中值定理，存在一点使；又严格减少，所以对任意都有，取即得（1）。

Rolle 定理与严格减少说明先增加后减少。设最大值为，则总变差为。因此

拓展

1000 基础篇第10章 9

原题

曲线的弧长为 ____.

解析

，故

1000 基础篇第10章 10

原题

曲线从到的弧长为 ____.

解析

，所以

1000 基础篇第10章 15

原题

曲线的长度为 ____.

解析

，故

考研笔记