体积、旋转轴与旋转曲面

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方法选择

垂直于旋转轴切片用垫片法，平行于旋转轴切片用柱壳法；选择能避免反函数与分段重叠的一种。
旋转轴穿过区域时，先取轴一侧的半区域旋转，防止两侧生成同一实体而重复计数。
旋转曲面面积使用；闭曲线上下两半绕同一轴会生成同一曲面，只取一半。
轴不穿过区域时可用 Pappus 定理：体积等于面积乘形心行程，曲面面积等于曲线长乘形心行程。

必考

880 第3章基础填空 9

原题

曲线绕轴旋转一周所得的旋转体, 将它在与之间部分的体积记为 , 且 , 则 ____.

解析

总体积为。令，得，所以。

880 第3章基础解答 18

原题

设星形线 ( ). 求:

（I）所围面积 A；

(Ⅱ) 弧长 L;

(Ⅲ) 绕 x 轴旋转一周所得体积 V 和表面积 S.

解析

利用四象限对称性和参数微元：

绕轴的体积只需对上半边界作垫片积分：

旋转曲面由上半曲线生成：

880 第3章基础解答 19

原题

设立体图形的底是介于和之间的平面区域，而它的垂直于轴的任一截面是等边三角形，求立体体积 .

解析

底面在处的竖直宽度为，等边三角形截面积为，因此

880 第3章综合解答 34

原题

设平面图形由与确定, 求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积.

解析

使用极坐标，区域为

绕的体积微元为。计算面积与关于轴的一阶矩：

所以

880 第3章综合解答 36

原题

设摆线 ( ) 与 x 轴所围平面图形为 D. 求:

（Ⅰ）D 绕 x 轴，y 轴各旋转一周所得旋转体的体积；

(Ⅱ) D 绕直线 y = 2a 旋转一周所得旋转体的体积.

解析

摆线一拱的面积为，且图形形心的横坐标为。直接计算，因此

绕时用垫片法：

880 第3章综合解答 39

原题

设与所围平面区域的面积为与所围平面区域绕轴旋转一周所得体积为，求极限 .

解析

记。令：

而，所以

880 第3章综合解答 40

原题

设曲线在上与 x 轴所围成的区域为 D, D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .

(I) 求 ;

（Ⅱ）求极限

解析

用柱壳法：，以为周期且关于周期中点对称，故

所求和式化为

1000 基础篇第10章 16

原题

设平面是由围成的第一象限的有界区域, 记绕轴与绕旋转一周所得旋转体的体积分别为 , 则( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

区域为、。因此

故，选。

1000 基础篇第10章 19

原题

设平面区域 , 求:

(1) 的面积;

(2) 绕轴旋转一周所成旋转体的体积.

解析

令，面积为

绕轴用垫片法：

1000 强化篇第10章 5

原题

曲线与所围平面有界区域绕直线旋转一周所得旋转体的体积为 ____.

解析

旋转轴穿过区域，将区域取上半部旋转即可生成整个实体。该半区域到轴的距离为。由 Pappus 定理的积分形式，

1000 强化篇第10章 8

原题

设曲线，常数与曲线交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形 .

(1) 求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积 ; (2)求使为最大值时a的值.

解析

交点横坐标，直线为。垫片法给出

对作对数求导：，故体积最大时。

1000 强化篇第10章 11

原题

设函数满足微分方程，且，求曲线绕轴旋转一周所得旋转体的体积.

解析

方程左端乘后为，右端是，由得在每个上为实值。所有曲线段绕轴所得总体积为

1000 强化篇第10章 19

原题

已知函数分别满足，，，。求曲线所围图形绕直线旋转一周所成旋转体体积。

解析

由初值得

封闭区域满足

绕对称轴用圆盘法：

1000 强化篇第10章 20

原题

在曲线上的横坐标为处作曲线的切线, 将切线与轴、轴所围成的图形绕轴旋转一周, 使得旋转体的体积最大, 求的值.

解析

令。切线方程为，两轴截距为与。绕轴所得圆锥体积为，在上求最大值，得，所以。

1000 强化篇第10章 25

原题

求摆线的一拱与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积与表面积.

解析

参数微元为

体积

曲面面积

1000 强化篇第10章 26

原题

已知摆线的参数方程为其中 , 常数 . 设该摆线一拱的弧长的数值等于该弧段绕轴旋转一周所形成的旋转曲面面积的数值. 求的值.

解析

一拱弧长为，绕轴的曲面面积为。由数值相等，且，得到

拓展

880 第3章综合解答 35

原题

求曲线绕 x 轴旋转所得旋转体的体积.

解析

曲线在上为实值。故总体积为

880 第3章综合解答 37

原题

求圆绕 y 轴旋转一周所得旋转体的表面积.

解析

圆周长为，圆心到轴的距离为。由 Pappus 曲面定理，

880 第3章综合解答 38

原题

求双纽线绕极轴旋转所成旋转曲面的面积.

解析

取双纽线的上半部分。由，

两个上半叶分别对应与，故

880 第3章综合解答 43

原题

求曲线与 x 轴围成封闭图形绕直线 y = 3 旋转所得旋转体的体积.

解析

在时，在时。绕用垫片法：

880 第3章综合解答 44

原题

设心形线与所围图形为 , 求绕极轴旋转一周所得旋转体的体积.

解析

极坐标面积元为，到极轴的距离为。因此

880 第3章拓展题 1

原题

已知曲线 L 的极坐标方程为 . 求:

（I）曲线在对应点处的切线的直角坐标方程；

(Ⅱ) 曲线 L、切线 T 与 x 轴所围图形的面积.

解析

当时，点为，切线斜率为。故

用“切线下三角形面积减曲线下方面积”，并以极坐标扇形修正曲线下面积，得到

1000 基础篇第10章 6

原题

设平面区域由曲线段与轴围成, 则绕轴旋转一周所成旋转体的体积为 ____.

解析

柱壳法给出

1000 基础篇第10章 17

原题

曲线从点(1,1)到点(2,4)的一段弧绕轴旋转一周所得旋转体的侧面积为 ____.

解析

绕轴的曲面面积为

补充题

绕斜轴旋转的圆盘法

原题

求曲线与所围有界区域绕直线旋转一周所得旋转体的体积。

解析

交点为、。沿旋转轴取坐标

曲线可参数化为，。于是

垂直于旋转轴的截面是半径的圆盘，故

斜轴旋转时，半径是点到旋转轴的垂直距离，厚度应沿旋转轴方向取。

考研笔记