考研笔记

积分第二中值定理：单调因子的端点压缩

标准结论

设 在 上单调， 在 上连续，则存在 ，使

定理的实质是：单调因子 只保留两个端点值，积分区间由 分成两段。 可以变号。

严格证明

令，由 连续， 连续且 。单调函数 有有界变差，Riemann—Stieltjes 分部积分给出

若 递增， 是非负权；若 递减， 是非负权。对连续函数 使用加权积分中值定理，均存在 使

当 为常值时，上式对任意 成立。代回得

若只在初等微积分范围内记忆证明，可先取 ，将 换成 ；一般单调情形由上述有界变差证明保证。

正权情形的体积图像

若再有 ，可把 看成高度为 、宽度权为 的薄片。

交互版：打开积分第二中值定理体积压缩实验室

对递增 ，记， 连续，且

由 与 ，，介值定理给出 。递减情形同理。这个证明直观，其适用范围明确限定为 。

Bonnet 单端压缩公式

设 。

  • 单调递减时，存在 使
  • 单调递增时，存在 使

这两个公式也允许 变号。以 递减为例，分部积分后

右端可视为对 的非负加权平均：端点 处权重为 ，其余权重总和为 ，总权重为 。因此存在 使右端等于 。递增公式对 作同样处理。

与第一积分中值定理的对照

第一积分中值定理需要 不变号；将整体乘以 后可统一取 。它将变化的 压缩为某个中间高度：

第二积分中值定理需要 单调，它保留 两个端点值，通过切点 重分配 的积分。

自检例题： 变号

设 ，，。求满足积分第二中值定理公式的 。

解析，由 ，定理公式化为，故，该例中 在 两侧变号，标准定理仍然成立，正体积图像不能直接充当证明。

条件核对

  • 标准双端公式：核对 单调、 连续。
  • 正体积图像：额外核对 。
  • Bonnet 单端公式：额外核对 ， 可变号。
  • 第一积分中值定理：权函数 需不变号；当 时可直接解释为加权平均。

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