积分比较、符号与平均值

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方法选择

同区间比较先做点态比较；权函数在区间两端地位不同，再关于中点配对。
变动积分区间要先画出被积函数符号，最小积分通常覆盖全部负值区间。
区间平均值等于积分除以区间长度；已知原函数时，注意原函数在瑕点两侧是否属于同一分支。
二重积分或嵌套积分优先交换次序，把累计量化成简单权函数。

必考

880 第3章综合选择 4

原题

设 , 则( ).

解析

因为，有。比较时，将关于配到：在前半段为正，而权函数随减少，因此正贡献权重大于负贡献，故。选。

880 第3章综合选择 5

原题

设在上可导, , 则在内, 有 ( ).

解析

，，所以严格增加且严格凹。由，图像位于弦上方：，又，所以对任意，，选。

880 第3章综合解答 20

原题

证明: 的最大值为 , 且。

解析

，故在上增加，在上不增加，最大值为。

在上，因此

880 第3章综合解答 28

原题

设曲线上任一点处的切线斜率为，且在处取得极小值 0.

(I) 求及的其他极值；

(Ⅱ) 证明: .

解析

极小值点满足，故。时为极大值点，舍去；所以。

由和，得

另一个驻点为，它是极大值点，极大值为。

当时，

再令。有，故，整理即得

1000 基础篇第8章 4

原题

设则（）.

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

。对，，故。

又，因为两边之差在处为，其导数非负。于是。所以，选。

1000 基础篇第8章 5

原题

设是内的正值连续函数，且，，则和的可能取值是（）.

(A) -2, 1

(B)-2,3

(D)2, -3

解析

，且由严格减少，，只有满足这些关系，选。

1000 基础篇第8章 6

原题

设若取得最小值，则 .

(A)

(B)

(C)

(D) (1,2)

解析

在上为负，在上为负；其余区间上被积函数非负。要使积分最小，应恰好覆盖全部负值区间，故，选。

1000 基础篇第8章 7

原题

设函数在上连续，若在内，则对任意的，有（）.

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

在上。单调增加，所以，在同向区间上积分得 A。选。

1000 基础篇第8章 25

原题

下列表达式中正确的是( ).

(A)

(B)

(D) 连续，

解析

选项 B 左端被积函数为奇函数，积分为；右端第一项为奇函数，第二项严格为正，所以右端大于。B 正确。

A 中；C 缺少；D 缺少偶性。故选。

拓展

1000 基础篇第8章 18

原题

定积分的值满足( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

在正半轴递减，且于，所以，又，故。选。

1000 基础篇第10章 7

原题

已知函数，则在(0,1)上的平均值为 ____.

解析

区间长度为。交换积分次序：

1000 基础篇第10章 18

原题

函数在区间上的平均值为 ____.

解析

区间长度为。令：

1000 强化篇第10章 13

原题

已知是函数的一个原函数, 则在上的平均值为 ____.

解析

记原函数。它在的两侧有不同极限：，。分段计算：

区间长度为，平均值为。

1000 强化篇第10章 14

原题

已知函数在上连续，在内是函数的一个原函数，且，则在区间上的平均值为 ____.

解析

由，，交换次序：

1000 强化篇第10章 17

原题

已知函数在上连续，在内是函数的一个原函数，且则在区间上的平均值为 ____.

解析

记。由，交换积分次序：

对话补充题

累计积分的单调性

原题

设在上连续，且，当时，判断与的大小。

解析

令，则。因此，由，可得，继而。所以严格增加，

补充题

复合被积函数与常数比较

原题

设

判断的大小。

解析

当时，且于，所以，由，

故。复合积分比较先确定内层值域，再为外层函数选择可积的上下界。

指数核压住累计积分

原题

设，在上连续有界，为常数。证明在上有界。

解析

设。对，

所以上界与无关，有界。题设没有给出，洛必达法则无法直接保证的极限存在；统一估值足以完成证明。

的积分范围

原题

设，判断所在的区间：

解析

在上，，积分得

故选。是可去间断点，补定义后可直接使用定积分保序性。

考研笔记