单调性权重控制与切比雪夫积分不等式

核心直觉

这类题的底层语言是：

很多题最后都会变成判断：其中 单调，而 是不变号权重、零均值权重或振荡权重。

零均值线性权重

最典型的权重是：，它满足：，左边为负，右边为正，总量平衡。

如果 单调递增，则右边更大的 配正权重，左边更小的 配负权重，所以：

严格递增时通常是 。

例：中心化权重与严格不等式

设在上连续且单调增加。取，由 Chebyshev 积分不等式，

若严格增加，则除中点外

积分后得到严格不等式。连续单调函数取等号时，为常函数。完整题目：880 第3章基础解答 12。

切比雪夫积分不等式

更一般的母式是：

如果 同向单调，则，于是

如果 反向单调，则不等号反向。

证明

令，先建立恒等式：

证明这个恒等式只需要展开右边。

记

展开被积函数：

于是

逐项看：

第一项中 与 无关，所以

第二项可分离变量：

第三项同理：

第四项中 与 无关，所以

因此

两边除以 ，得到

这就证明了恒等式。

接下来只看符号。

如果 同向单调，比如都递增，那么对任意 ：

• 当 时，，且 ；
• 当 时，，且 。

所以总有，于是，代回恒等式：

也就是

如果 反向单调，例如 递增、 递减，则对任意 都有，于是

所以整个证明的本质是：

同向单调时，成对差值同号；反向单调时，成对差值异号。

协方差思想

记

则

像概率里的协方差。

它在衡量：

同向单调：同涨同落，协方差非负。

反向单调：一高一低，协方差非正。

例：变号函数配递减权重

设

在两侧异号。将后半段关于反折到前半段，递减权重使正贡献更大，故。同题中还给出。完整题目：880 第3章综合选择 4。

图像：

11.4 是切比雪夫的特例

令 。若 单调递增，则由切比雪夫：

又，所以

移项就是：，这正是习题 11.4 的结构。

触发器

• 看到 和 比较：改成零均值权重。
• 看到 和 比较：想切比雪夫积分不等式。
• 看到两个函数同增或同减：乘积积分偏大。
• 看到一个递增一个递减：乘积积分偏小。
• 注意一般区间 上有因子 ，只有在 上它才消失。

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