Chebyshev、不等式排序与累积比较
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方法选择
同序函数满足 Chebyshev 积分不等式：若 在 上同向单调，则
反向单调时不等号反向。判断严格性可使用恒等式
若题目给出所有前缀积分的大小关系，设 ，再对 分部积分。
必考
880 第3章基础解答 12
原题
设 在 上连续且单调增加，证明： .
解析
在 上， 与 同向单调。由 Chebyshev 积分不等式，
由于 ，故，若严格单调增加，则除去中点外，
又，所以
该中心化写法同时给出等号条件：连续单调函数取得等号时，必须为常函数。
880 第3章基础解答 14
原题
设 在 上连续，且单调增加，证明：当 时，有
解析
记 。因为 单调增加，积分平均值 在 上单调增加，故
再在 上对 与 使用 Chebyshev 积分不等式：
880 第3章综合选择 7
原题
设 二阶可导, 则下列结论中正确的是().
① 当 时，则 ;
② 当 时，则 ;
③ 当 时，则 ;
④ 当 时，则 .
A. ②③
B.①②
C. ②④
D.①④
解析
由对称性，
当 时， 严格递减，故上式小于零，①正确。
再由分部积分，
当 时， 严格递增，故上式小于零，④正确。选 。
1000 基础篇第11章 2
原题
设函数 具有二阶导数, , 记 , , 则( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
解析
由 ，，由分部积分及 ，
因为 严格递减，所以括号内为负。故 ，选 。
1000 基础篇第11章 8
原题
设 , 在 上连续, 则使得 成立的条件是在 上( ).
(A) 均为增函数
(B) 均为减函数
(C) 为减函数, 为增函数
(D) 为奇函数, 为偶函数
解析
区间长度为 。当 与 反向单调时，Chebyshev 积分不等式反向：
故充分条件为 递减、 递增，选 。
1000 强化篇第11章 5
原题
设函数 ， 在区间 上连续，对任意的 ，满足 ，且 。证明： 。
解析
令，由已知，，且 。分部积分得
因此
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