加权平均与单调型洛必达
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题型总纲
当 时，可理解为导数比 在 上的加权平均。若 递增，扩大右端点会加入更大的局部比值，因此 递增。严格证明使用 Cauchy 中值定理。
必考
1000 基础篇第6章 5
原题
设存在 ，使得 ， ，则 ____.
解析
由拉格朗日中值定理，给定 ，确有某个 使，利用展开
其中 保证余项一致有界。比较 项得，故
另解：显式解出 。 对 ，由题设等式及 ，
因此
利用
得到 。又 ，故
1000 强化篇第5章 14
原题
设函数 , 在 上连续，在 内可导， ，则在 上，“ 严格单调递增”是“ 严格单调递增”的（ ）
(A)充分非必要条件
(B)必要非充分条件
(C) 充分必要条件
(D)既非充分又非必要条件
解析
选 A：充分但非必要。
记
任取 。由 Cauchy 中值定理，存在 ，使 。令，有 。当 时，，且 ，所以，于是 ，即 。
必要性反例取 、，在 上令，此时严格递增，因为 ；但会取负值，所以 不单调递增。
1000 强化篇第6章 10
原题
设 .
(1) 证明 , 且 唯一, 其中 , ;
(2) 求 .
解析
(1) 因 在 时严格递增，积分中值定理给出唯一的 ，使，令 ，便有唯一的 。
(2) 换元 ：，两边在 附近展开：
故 。由于 ，
1000 强化篇第6章 18
原题
设 ，则( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
解析
选 A。令，则，因为 （）。故 时 。
又因 ，交叉相乘时不等号反向，得到
拓展
1000 强化篇第6章 11
原题
设 在 上一阶可导且 . 证明：
(1) 对任意的 ，均有 ；
(2) 存在 , 使得 .
解析
(1) 对 ，在 上使用中值定理：，结合 ，得 。
(2) 令，由第 (1) 问，，其中最后一步使用 。
在 处连续，故存在 ，使 时 。任取该区间内的 即得结论。
这里的存在性直接来自端点严格不等式的局部保号。
1000 强化篇第6章 19
原题
设 ，证明： .
解析
因 ，函数严格递减，函数 严格递增。因此
合并即得
相关概念