第6章：中值定理与证明体系
总题库：一元微分及其应用题库
核心概念
- 微分中值定理的条件与结构：Rolle、Lagrange、Cauchy 中值定理及无穷区间的有限化。
- Rolle 辅助函数构造：由目标导数式反推原函数，配平端点函数值。
- 导数介值性：处理导函数不连续时的零点和中间值。
- 积分条件下的辅助函数：把积分条件转成端点等值或导数零点。
- 无穷区间中值问题与导数极限边界：有限极限、导数极限和内部极值的条件。
- 凸性、弦斜率与中心差分：凸性的等价刻画、三点斜率和二阶中心差分。
- 微分不等式：积分因子与单调量：将目标不等式识别为某个函数的导数符号。
- 加权平均与单调型洛必达：用正权平均解释导数比单调性向函数比单调性的传递。
- Taylor 公式与余项：Peano、Lagrange、积分余项与双端点导数估计。
- 根的存在、唯一与参数计数框架：分别证明存在性、唯一性，并按单调分支处理参数范围。
- 积分第二中值定理：单调因子与可积因子的端点压缩。
题型入口
- 无穷区间与导数极限边界
- Rolle 辅助函数与端点配平
- 导数介值性与有序中值点
- 反复使用 Rolle 定理与积分条件
- 凸性的等价刻画与不等式
- 微分不等式与单调量
- 加权平均与单调型洛必达
- Taylor 公式与导数估计
- 根的存在、唯一性、个数与参数范围
跨章题型
- 迭代收敛、压缩映射与误差阶：递推主体归入数列不动点题型，题库从本章来源直接到达该题。
复习顺序
- 逐条核验 Rolle、Lagrange、Cauchy 中值定理的连续、可导和分母条件。
- 从目标导数方程反推辅助函数，再处理端点配平、积分条件和反复 Rolle。
- 遇到导函数取中间值时使用 Darboux 性质；需要两个中值点时单独控制区间顺序。
- 将凸性翻译成切线、弦斜率、中心差分和积分平均不等式。
- 微分不等式先寻找积分因子、商或对数导数；单调型洛必达先检查正权条件。
- Taylor 题根据目标选择余项形式；导数估计优先在两端分别展开并消去未知函数值。
- 根问题分别完成存在、唯一、根数和参数值域四个环节。
章节衔接
- 几何语言：第5章：导数的几何应用
- 数列迭代：第2章：极限、连续与数列
- 积分证明：第11章：积分等式与不等式