递推数列、不动点与收敛速度

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递推证明固定四步：

1. 找不动点：解 。
2. 找不变区间：证明 一直留在可控区间内。
3. 证单调有界或压缩：得到极限存在。
4. 代回递推：用不动点唯一性确定极限。

精细极限看最低非零项：或

代表题详解

来源：880 综合解答 17。

原题：设

（I）证明 存在，并求其值； （II）求 。

解析

递推式化为 。令 ，在 上，

故 。又 ，所以 。数列单调递减且有下界 ，故存在极限 。代入递推得 ，该方程在 上的唯一解为 ，所以

精细展开：，因此

所以

模板

递推中出现 ：

• 先证明 留在小区间。
• 再用三角函数展开求收敛速度。
• 指数型精细极限用 ，先看 。

必考同类题

880 基础解答 11

原题：设 ，

证明：，

由均值不等式，所以 单调不减有上界， 单调不增有下界，均收敛。设极限为 ，代入递推：，得

880 综合解答 5

原题： （I）证明方程在 内有唯一实根 ；

（II）取 ，令，证明：。

方程 等价于 。在 ，

故唯一根 存在。

若 ，。由 得 ，又 ，所以，单调有界，极限代回递推，得到

880 综合解答 14

原题：设 ，数列 满足，证明 存在，并求值。

若 ，则 ，所以 。又，故，于是 单调递减且有下界 ，设极限为 。若 ，代回得，等价于，即，但 时 ，矛盾。故

1000 基础篇第 2 章 4

原题：设 ，，且 。证明 存在，并求此极限。

Newton 递推：，关键恒等式：

从 起，。又，单调递减且下界为 ，故

1000 基础篇第 2 章 7

原题：设数列 满足，则 （ ）。

A. 单调不减 B. 单调不增 C. 严格单调递增 D. 严格单调递减

利用 ，得 ，答案：

1000 基础篇第 2 章 9

原题：若对于数列 ，， 可导， 是 的唯一解，且对任意 有，证明 收敛于 。

若 ， 是唯一不动点，且 ，则由中值定理，递推得，故

1000 基础篇第 2 章 11

原题：设 ，且 是方程的唯一非零解，证明 。

若 是 的唯一非零解，，。 函数 单调增加，所以，答案：

1000 基础篇第 2 章 12

原题：设单调递减数列 满足，，且 是的唯一非零解，证明 收敛。

已知 单调递减，且，若 ，则，所以 是下界。单调递减有下界，故

1000 强化篇第 2 章 5

原题：设

证明数列 收敛，并求其极限值。

设 。先证 为不变区间：若 ，则 ，且

归纳得 。再由，知数列递增且有上界。极限 满足 ，即 ；结合 ，答案：

1000 强化篇第 2 章 6

原题：设 ，，求

当 时，有 ，所以 单调递增且上界为 。设极限为 ，代回得到 ，唯一解为 。

精细极限：

1000 强化篇第 2 章 8

原题：已知数列 满足

（1）证明 存在并求其值； （2）求

同代表题递推式。若问

则

1000 强化篇第 2 章 11

原题：已知 可导，且，方程 有唯一解 ，又，证明：当 时， 是 的高阶无穷小。

若 ，且 为唯一不动点，递推 。 由中值定理，，故，于是，所以 是 的高阶无穷小。

880 第2章综合解答 19

原题

设 在 上二阶可导，

其中 。任取 ，令

1. 证明 ；
2. 求

解析

由 ，迭代点始终位于 。由拉格朗日中值定理，

逐次迭代：，故

若轨道不在有限步内到达 ，则可对每个充分大的 使用 Taylor 公式：

因 ，所以

边界说明

若题面只写 在 上二阶可导，还需补充 或直接保证整条轨道始终有定义； 与区间内不动点本身不能保证 把整个 映回 。

若某个 ，则此后 ，题中第二个商从该项起成为 ，不再有定义。第二问需附加“轨道不在有限步命中不动点”或 。第一问对所有允许初值都成立。

这里的收敛速度是二次的：误差 满足

拓展同类题

1000 基础篇第 2 章 8

原题：若对于数列 ，存在常数 ，使得，证明 收敛于 。

若存在 ，使，则，故 。

补充题：分式线性递推

设 ，且

证明 存在，并求其值。

递推式化为，不动点方程 的两根为

因 ，且 ，归纳得到 。再由

知 单调递增且有上界 。极限代回递推式，并结合 ，得到

若需要通项，可令，则 为等比数列。单调有界法适合证明收敛，交比变量适合进一步求通项。

易错点

• 不动点方程只给候选极限，收敛性要另证。
• 单调有界题先找不变区间，避免归纳断层。
• 递推速度题必须先证明 或 ，再展开。
• 压缩映射证明的核心是 。

链接

• 第一部分题库：极限、连续与数列
• 不动点迭代数列：单调有界与压缩放缩
• 分式线性递推：不动点、交比变量与矩阵升维