分式线性递推：不动点、交比变量与矩阵升维

它解决什么问题

这一页整理的是形如的递推。它表面是非线性的分式递推，但本质上有两套线性结构：

不 动 点 法 ： 交 比 变 量 变 等 比 数 列

矩 阵 法 ： 把 升 维 成 二 维 线 性 递 推

考研做题时，最常用的是不动点法；矩阵法更像是背后的解释。

核心定义 / 定理 / 结论

设

递推为，先找不动点：，即

若有两个不同不动点，构造，则

其中

于是，也就是

令，反解得到通项：

如果题目从开始给初值，则把改成，并令

典型题型

以为例。

不动点满足

所以

构造，由一般公式，

于是若给定，

若给定，

只要初值不落在特殊坏点上，且递推有定义，由于，通常有，本题中若，它和单调有界法得到同一个极限：

图示 / 直觉

普通看法是在数轴上直接追踪；不动点法换了坐标：，新坐标追踪相对两个不动点的比例。这个比例在分式线性变换下只会乘一个固定倍数，所以复杂递推被压成等比数列。

一句话：

找 到 不 动 点 ， 就 找 到 了 这 个 递 推 自 己 的 坐 标 系 。

矩阵法

把，代入，得

于是可令

也就是

最后再取，对例题，

特征方程为，特征值是

两个不动点对应两个特征方向：

不动点法里的公比就是特征值之比：

所以：

矩 阵 法 升 维 成 二 维 线 性 递 推 ； 不 动 点 法 投 影 回 一 维 后 的 等 比 化 。

常见误用

只求不动点，不检查递推是否有定义，比如分母不能为。
只有一个重不动点时，不能再构造两个不动点的交比。这时通常改用

它会变成等差型。

考场求极限时，不一定要上通项；单调有界更短。但若题目问“能不能算出”，交比法就是正路。

与旧知识的连接

单调有界法证明收敛，交比法直接给出通项；矩阵法说明分式线性递推是二维线性递推的斜率。

考研笔记