不动点迭代数列：单调有界与压缩放缩

它解决什么问题

递推数列常写成，如果极限存在，设，由连续性通常得到，所以极限一定是不动点。但真正难点是：

先 证 明 收 敛 ， 再 代 回 求 极 限 。

递推数列的标准顺序是：

不 动 点 只 给 候 选 答 案 ； 不 变 区 间 和 收 敛 性 证 明 才 给 合 法 性 。

若能证明或，则数列单调有界，极限存在。再把极限代回递推式，用不动点唯一性得到极限。

更常见的写法是先证明某个区间不变，例如且，再计算的符号，得到单调有界。

若，且从某一项起都落在区间内，并且，则由中值定理：，所以

令，有，因此在上递增，且方程在正区间内有唯一根。

若，递推满足，所以单调递减有下界，极限存在，代回得极限为。

令，则，在内有唯一根。

对任意实初值，，进而。从起，由中值定理：。因，所以。

若，先解不动点得。再证明在递增，且，所以是不变区间。

最后算差：

于是单调递增且有上界，所以。详见不变区间递推。

不动点迭代关注迭代函数会不会把点持续拉向不动点。

单 调 有 界 看 位 置 顺 序 ； 压 缩 放 缩 看 距 离 缩 小 。

只有唯一不动点不够。例如唯一不动点是，但只要，就不收敛到。

中值定理在这里把两次迭代到不动点的距离联系起来：，这和函数极限里的“局部线性化”是同一套思想。