Cesaro 平均、奇偶子级数与部分和结构

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必考

880 第8章综合选择 7

原题

设正值数列 满足

则 收敛是 收敛的（ ）。

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分也非必要条件

解析

推出 ，故 。

若 收敛，则 ，从而

所以 收敛。

若 收敛，则，因此 收敛， 有有限极限。两者互为充分必要条件，选 。

880 第8章综合填空 3

原题

求

解析

记，由

得，因为 ，级数 收敛，其部分和有界。故

边界说明

Cesaro 定理也可使用： 推出算术平均趋于 。这里先证明 收敛还能直接给出分子有界，条件更强。

880 第8章综合填空 5

原题

设

求 。

解析

记奇数项和为 、偶数项和为 。题设给出

故 ，从而

已知奇数项子级数与交错组合均收敛，因此偶数项子级数由二者之差得到，运算合法。

880 第8章综合解答 5

原题

设正项级数 发散，且，（1）求 的和；

（2）证明 收敛。

解析

因为 且 发散，所以 。第一问直接望远镜：

对 ，由 ，

右端级数望远镜收敛，再加首项，故

880 第8章综合解答 6

原题

设 可导，，且，数列满足，证明：

（1） 绝对收敛；

（2） 存在。

解析

设 ，则，由中值定理，

因此，又

故第一问成立。对 ，

所以 为 Cauchy 数列，。

拓展

1000 强化篇第16章 10

原题

数列 满足

（1）证明 绝对收敛；

（2）求，

解析

令， 且 ，由递推式归纳得 。在 上，，由 Lagrange 中值定理，

因此

第一问成立，且 为 Cauchy 数列。设 ，在递推式中取极限：

故 。最后利用有限和望远镜：

边界说明

直接写 只能处理普通收敛。题目要求绝对收敛，需要先用 控制相邻差。

模板总结

• 若 ，则 ；若 收敛，则分子部分和有界，除以 后趋零。
• 奇偶子级数先记为 ，再由总和与交错和列线性方程。
• 出现 时优先寻找 。
• 若 收敛，则 为 Cauchy 数列并收敛。

相关概念

• Cesaro 平均与子级数结构
• 不动点迭代与压缩映射