反复使用 Rolle 定理与积分条件
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题型总纲
- 三个函数零点经过两次 Rolle 定理，可得到一个二阶导数零点。
- 积分条件先转化为函数值相等或构造变上限积分，再进入 Rolle 链条。
- 目标为常系数微分算子时，可用指数因子完成因式分解，例如 。
必考
880 第2章基础解答 21
原题
设 在 上二阶可导，且 ，证明：
（I）至少存在一点 ，使得 ;
(Ⅱ) 对 ，至少存在一点 ，使得 .
解析
这是“积分平均值造第三个等值点”的代表题。
记公共值为，则，若 于 ，该开区间内处处有 ，两问直接成立。否则，连续函数 若不变号且不恒为零，其积分必严格为正或严格为负，与积分为零矛盾。因此 在 内取正值和负值，介值定理给出 使 （或由积分中值定理给出）。
在 、 上分别使用 Rolle 定理，存在，使 。
(I) 对 在 上使用 Rolle 定理，存在 ，使 。
(Ⅱ) 对任意 ，令，有 ，故存在 使
880 第2章综合解答 3
原题
设 在 上二阶可导，且 ，证明：
（I）至少存在一点 ，使得 ;
（Ⅱ）至少存在一点 ，使得 .
解析
由两个极限及端点连续性，，(I) 当 充分小时，，故 ；当 且充分接近 时，，故 。由介值定理，存在 使 。
(Ⅱ) 现在 有三个零点 。令， 也在三点为零。两次分别使用 Rolle 定理，得到 、，使，再令，有 。由 Rolle 定理存在 ，使，因此 。
880 第2章综合解答 4
原题
设 与 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：至少存在一点 ，使得 .
解析
令，由 、，，对 求导，两个交叉项恰好抵消：，由 Rolle 定理，存在 使 。
构造方法：目标含“导数乘另一函数的积分”时，先尝试“函数乘另一函数的积分”，再利用变上限积分求导产生的交叉项相消。
880 第2章综合解答 7
原题
设函数 在区间 上有二阶导数，且 . 证明：在
内存在两点 与 ，使得
解析
不妨设 、。导数定义给出： 的右侧有 ， 的左侧有 。由介值定理，存在 使 。两端导数均为负时，左右符号对调，结论相同。
于是，分别在 、 上使用 Rolle 定理，得到 ，使 。再对 在 上使用 Rolle 定理，存在 使 。
1000 基础篇第6章 21
原题
设 ( 为实数, ), 则在区间 内, 方程 ( ).
(A) 没有实根
(B) 至少有一个实根
(C)仅有一个实根
(D)是否有实根不能判定
解析
选 B。构造原多项式的一个原函数：，题设正是 ，并且 。由 Rolle 定理，存在 ，使，看到系数 时，应优先识别为多项式积分后的系数。
拓展
1000 强化篇第6章 12
原题
设函数 在区间 内二阶可导，且其图像在 内有三个点满足关系 . 证明：必然存在一个点 ，使得 .
解析
题面中的 按数学关系校正为 。
设三个点的横坐标为 ，令，则 。在 、 上分别使用 Rolle 定理，得到 、，使 。再对 在 上使用 Rolle 定理，存在 ，使，故 。
相关概念