考研笔记

积分上限函数的连续性与可导性

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基本定理

设，若 在区间上可积，则 连续。若 在 连续，则，证明来自

右端是短区间平均值。

复合上限

若，且 在 连续、 可导，则，上下限都变化时分别贡献：

被积函数含参数

若被积函数本身含 ，直接写积分号下求导需要额外条件。可先换元消去参数，或把问题改写成某个积分上限函数的复合。

固定积分区间

设，若 与 在矩形 上连续，则 在参数区间 内可导，且

这里 是积分变量，求偏导时固定 ，只对参数 求导。

被积函数与上下限同时含参数

设，若 可导， 与 在所涉及的有限闭区域上连续，则 Leibniz 公式为

三部分的来源分别是：上限移动、下限移动、固定区间内部的参数变化。若 与 无关，积分项为零，公式退化为复合上限公式；若上下限固定，两个边界项为零。

使用前核验

  1. 区分变量。 积分变量可以改名，参数保持不变。例如 中， 是积分变量， 同时出现在上限和被积函数中。
  2. 检查偏导存在性与连续性。 只知道 连续时， 可能不存在，不能直接把导数移入积分号。
  3. 边界项不能漏。 上限项取正号，下限项取负号，并分别乘 、。
  4. 绝对值和分段点先拆区间。 分段点随参数移动时，它也是积分上下限；各段求导后的内部分界项通常相消，但应完整写出后再约去。
  5. 参数边界取单侧极限。 先在参数区间内部得到 ，再求 或 。不能先把边界参数代入偏导的被积式。
  6. 反常积分需要统一控制。 若积分区间无界或存在瑕点，仅有逐点偏导还不够。常用充分条件是：在 的某个邻域内存在与参数无关的可积函数 ，使

再结合逐点可导与原积分收敛，才能稳妥交换求导和反常积分。也可证明偏导积分关于参数一致收敛。

条件不足时，优先换元消去参数，或引入积分上限函数后使用复合函数求导。

代表题：

变上限积分作辅助函数

积分条件中出现时，可令 ，把整体积分条件改写为 ，再使用 Rolle 定理。

代表题：系数积分条件与多项式零点。

题型训练

一元积分题型训练

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