定积分、原函数与微积分基本定理边界

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方法选择

的导数由被积函数在该点的连续性控制；跳跃点应分别计算左右导数。
“ 可积”只保证定积分存在，不能保证有原函数；导函数还必须满足 Darboux 性质。
对分段可导函数积分其导数时，在每个连续分支上分别使用 Newton-Leibniz 公式，跳跃量不能漏掉。
参数进入被积函数而题目只给连续性时，先换元，把参数移到积分上限或区间长度中。

必考

1000 基础篇第8章 22

原题

设，其中表示不超过的最大整数，则 ____

解析

记。由积分平均值，

因此。

1000 基础篇第8章 23

原题

下列命题中不成立的是( ).

(A) 若连续, , 则必为的原函数

(B)若可积，，则在内存在原函数

(D) 若连续, 为其周期, 则

解析

A、C、D 均由微积分基本定理、奇函数对称性和周期积分性质得到。

B 不成立。可积函数可能有跳跃间断点，例如阶跃函数；若它存在原函数，它就是某个函数的导函数，而导函数具有 Darboux 性质，不能发生跳跃。选。

1000 基础篇第9章 23

原题

设，且，则 .

(A)2

(B)1

(D)-1

解析

逐点取极限：

的单点值不影响定积分，因此

选。

1000 基础篇第9章 24

原题

解析

令。在处有跳跃：，且，。应在的两侧分别使用 Newton-Leibniz 公式：

直接写成会漏掉跳跃造成的分支断裂。

拓展

1000 基础篇第8章 8

原题

若是的一个原函数, 则 .

(A)-1

(B)

(C)

(D)1

解析

由题意，时，故。于是

选。

1000 基础篇第8章 11

原题

设是实数集上连续的偶函数，在上有唯一零点，且，则函数的严格单调增区间是（）.

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

为偶函数，所以也是零点。由，在附近从负变正；结合负半轴只有零点，可得

于 于

再由偶性，于，于。因为，的严格单调增区间为，选。

1000 基础篇第9章 17

原题

若函数，则 .

(A)0

(B)1

(C)

(D)

解析

在的邻域内，故。于是

所以，选。

对话补充题

仅给连续性时的参数积分

原题

设，其中连续，判断在处的连续性。

解析

令。当时，作换元：，因此，连续性给出，所以，另一方面，

故在处连续。原条件没有给出，直接对关于求导缺少依据；换元后只需使用的连续性。

考研笔记