变限、含参与绝对值积分定义函数

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方法选择

型积分先按分段；求导时可直接记住一阶导数是左右质量之差，二阶导数返回密度。
含参积分在参数边界处求导，先在参数内部得到公式，再取单侧极限；交换求导与积分需要控制瑕点。
积分定义函数与反函数结合时，先换元化简积分，再用反函数导数公式。
绝对值上限会带来；外层被积函数在零点的消失阶数决定尖点能否被抹平。

必考

880 第3章基础解答 10

原题

设，求的单调区间与极值.

解析

当时，按分段：，当时；当时。所以在上减少，在上增加。

对，，因此唯一极值为极小值

1000 基础篇第9章 15

原题

设在上是连续的偶函数, , , 则在上 ( ).

(A) 是单调递增函数

(B) 是单调递减函数

(D) 是奇函数

解析

令，利用：

故为偶函数，选。

1000 基础篇第9章 16

原题

若，则 .

(A)-4

(B)-2

(D)4

解析

在处，

选。

1000 基础篇第9章 29

原题

设，则 .

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

令，得，所以、。因此

选。

1000 强化篇第8章 7

原题

设 , , 则在内 ( ).

(A) 是可导的奇函数 (B) 是可导的偶函数 (C) 是奇函数且不存在

(D) 是偶函数且不存在

解析

、都是偶函数。零点附近

所以不存在，而。正确结论为“ 是可导的偶函数”，选。

1000 强化篇第9章 8

原题

设，求 .

解析

按与区间的位置分段：

逐段积分：

1000 强化篇第9章 19

原题

设 , , 则 .

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

对求导：

所以，选。此处不能先把代入导函数的被积式；应先完成积分或作一致控制。

1000 强化篇第9章 20

原题

设，求积分的最大值.

解析

，故为严格凸函数，闭区间最大值在端点取得。比较两个端点可得，并且

1000 强化篇第9章 21

原题

设函数，求，并求的最小值.

解析

当时，按分段：

当时，，。因此唯一极小点为，最小值

1000 强化篇第9章 23

原题

设，其在的某邻域内与互为反函数，则 ____.

解析

令：，所以，。反函数二阶导数公式给出

1000 强化篇第9章 24

原题

在处的2次泰勒多项式为，求的值.

解析

当时可按分段，得到，展开到二阶：，故

补充题

固定区间内的绝对值参数

原题

设，求。

解析

变号点是否落在内决定分段。

当时，，故；
当时，

当时，，故。

在处核验左右导数，可得

积分区间始终是；参数只控制绝对值的变号位置。

考研笔记