含绝对值的参数积分：先找变号点，再按参数分段

识别

遇到这类题，第一步是找绝对值的变号点。

唯一关键点

绝对值里的在处变号。

但积分变量 只在 内变化，所以真正讨论的是：

• ；
• ；
• 。

中间段最值钱的模板

当时，

若直接对参数求导，则

因此，这就是整类题最该记的母公式。

例：变号点在积分区间内外移动

设，求。变号点是否落在内决定分段：

中间段直接套母公式：，完整题目：参数绝对值积分求导。

还能再写成

若 连续，则继续求导还有

例：变号点由确定

设，，当时在处分段，得到

当时，，故。唯一极小点为，最小值为。完整题目：1000 强化篇第9章 21。

做题顺序

1. 先找变号点 。
2. 再比较 和区间 的位置。
3. 中间那段优先直接对参数求导。

一句最该记住的话

含绝对值的参数积分，不要先算函数值；先找变号点，再写导数模板。

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• 第9章概念导航

一元积分题型训练

• 变限、含参与绝对值积分定义函数