根的存在、唯一与参数计数框架

🏠 返回总览：第6章：中值定理、凸性与微分不等式

存在性

将方程写成 ，寻找连续区间上的异号端点。无穷区间先通过极限选出有限端点。

例题：880 综合解答 8。

唯一性

• 证明 在候选区间严格单调；
• 或假设有两个根，使用 Rolle 定理制造导数零点，再与 的严格单调或零点上限矛盾。

例题：880 基础解答 28。

参数范围

优先孤立参数：，求 的定义域、端点极限、临界点和每个单调分支的值域。开区间端点对应开端值，闭区间端点对应可取端值。

例题：1000 强化篇第6章 16。

多项式根数

用 的零点分割实轴，再比较各极值与零：

• 极大值正且极小值负：三次函数有三个不同实根；
• 某个极值等于零：出现重根；
• 两个极值同号：只有一个实根。

例题：1000 基础篇第6章 19。

题型训练

• 根的存在、唯一性、个数与参数范围

一元积分题型训练

• 积分等式、零点存在与唯一性