根的存在、唯一性、个数与参数范围

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题型总纲

存在性：连续函数的异号端点、内部极值或端点极限。
唯一性：严格单调；或假设有两个根，再由 Rolle 定理制造过多的导数零点。
参数根数：将参数孤立为，求的值域和单调分支。
多项式根数：临界点把实轴分段，比较极大值、极小值与零的相对位置。

必考

880 第2章基础解答 28

原题

证明: 方程在内有且仅有两个不同实根.

解析

题面定积分中的积分变量记为。先计算

令，有，因此在上递增，在上递减，并且

左右两个单调区间各有且只有一个零点，故原方程恰有两个不同实根。

880 第2章基础解答 29

原题

讨论曲线与交点的个数.

解析

令，则。交点方程化为，求导：，记，则且。故在上递减，在上递增，唯一最小值为，又有（），所以：

：无交点；
：一个交点；
：两个交点。

880 第2章综合选择 13

原题

设当时, 方程有且只有一个实根, 则( ).

解析

选 A。将参数孤立：

在负半轴，处取得最小值；在正半轴，处取得最大值。结合与无穷远处的极限逐段计数可得：原方程恰有一个实根当且仅当 $或$ ，即。

880 第2章综合解答 8

原题

设在上有二阶导数， . 证明：在内有唯一实根.

解析

这是“存在性与唯一性分开证明”的代表题。

由，严格递增。又因，在充分小的正数处成立。

对，由二阶 Taylor 公式或两次中值定理，，右端趋于，故对充分大的成立。连续性给出至少一个正根。

若存在两个正根，结合，分别在与上使用 Rolle 定理，会得到两个不同的零点；这与严格递增矛盾。因此正根唯一。

1000 基础篇第6章 2

原题

若方程在上有解，则的最小值为（）.

(A)-1

(B)

(D) e

解析

选 C。参数满足，因，在上严格递减，且、（）。所以可取参数的最小值为。

1000 基础篇第6章 3

原题

设函数有两个零点，则的取值范围是（）.

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

选 D。令，零点方程为，先排除。当时无根；当时，根只能为负数，而函数在上严格递减，值域为，所以恰有一个负根。因此两个零点要求。

此时函数在处取得唯一最小值，又有（）。恰有两个零点等价于最小值小于零，即。因此。

1000 基础篇第6章 4

原题

已知函数有两个零点, 则的取值范围是( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

选 D。令，，故在处取得唯一最大值；两端极限均为。恰有两个零点等价于。

1000 基础篇第6章 13

原题

求曲线与曲线的交点个数.

解析

令，因右侧指数函数恒正，根只能位于或。

在上，，且、，故有一个根。

在上，，所以严格凹，零点至多两个。又，故该区间恰有两个根。总交点数为。

1000 基础篇第6章 16

原题

设常数，函数在内的间断点个数为（）.

(A)3

(B)2

(D)0

解析

选 B。间断点就是分母的零点。该函数在处取得最大值，在与处均趋于，所以有两个不同零点，即两个间断点。

1000 基础篇第6章 19

原题

对于的不同取值情况, 确定方程实根的个数, 并证明你的结论.

解析

令。有，为极大值点，为极小值点。结合三次函数两端极限：

：极大值为正、极小值为负，有三个不同实根；
：有一个二重根和一个单根，共两个不同实根；
：只有一个实根。

1000 强化篇第6章 16

原题

确定常数的取值范围, 使方程在内有实根.

解析

将参数孤立：，求导得，令，则且，所以。又

故参数范围为

拓展

1000 基础篇第6章 1

原题

设函数，则方程的实根个数为（）.

(A)0

(B)1

(D)3

解析

选 C。三次多项式有三个不同实根。由 Rolle 定理，至少有两个实根；是二次多项式，至多有两个实根，故恰有两个。

1000 基础篇第6章 15

原题

方程有两个不等的实根, 则的取值满足( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

选 A。令。有，故在处取得唯一最小值，且两端趋于。方程有两个不同实根的条件为，即。

1000 强化篇第6章 17

原题

设方程在内有实根, 则常数的取值范围为( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

选 C。令。有于，因为分子在处为，其导数为。同时

两端均不在定义区间内，故。

考研笔记