多项式零点重数与极值点、拐点个数

速记

设，且全部零点 互异并都为实根。记：

• ： 的根个数；
• ： 且 为偶数的根个数；
• ： 且 为奇数的根个数。

当 时：

一次多项式没有极值点和拐点。使用前先确认全部零点都列入上式；若有非实根，不能直接套这两个实根计数公式。

这一节在说什么

第 5 讲里有一类很适合单独记的结论，到第 6 讲会被罗尔定理和导数结构重新解释： 多项式在某个零点附近到底是“碰一下就回去”，还是“穿过去”，以及整条多项式一共有多少个极值点、多少个拐点，其实都和零点的重数直接相关。

这些公式来自同一条局部规律：

单个重根的局部图像：偶重根回头，奇重根穿过

设，因为 ，而且多项式连续，所以在 附近， 的符号不会乱跳，它基本上就像一个不变号的常数。

因此， 在 附近的局部形状，主要由决定。

1. 当 为偶数

此时，在 的左右两边同号，所以图像会“碰到 轴再回去”，不会穿过去。

这就意味着：

• 若 ，则 附近像“碗底”， 是极小值点；
• 若 ，则 附近像“山顶”， 是极大值点。

所以当 为偶数时， 一定是极值点。

2. 当 为奇数

此时在 的左右两边异号，所以图像会穿过 轴。

因为 ，零点处还有 ，图像会平缓地穿过横轴。 这种“穿过去但弯曲方向发生改变”的局部形状，就是拐点的图像特征。

更严格一点看，二阶导数的主导项会像而当 为奇数时， 也是奇数，所以 在 两侧会变号，因此 是拐点。

单个重根的典型例子

例 1：

这里 。

图像在原点附近像碗底，碰到 轴后回去，所以 是极小值点。

例 2：

这里 。

图像在原点附近像山顶，碰到 轴后回去，所以 是极大值点。

例 3：

这里 。

图像穿过原点，而且凹凸性改变，所以 是拐点，不是极值点。

例 4：

这里 。

图像在 附近会平地穿过 轴，且弯曲方向改变，所以 是拐点。

多个实根时怎么数极值点和拐点

设

其中 两两不等， 是正整数。这个表示要求 的全部零点都为实数。记

• 为 的个数；
• 为 且 为偶数的个数；
• 为 且 为奇数的个数。

非零常数 不改变零点、驻点与拐点的位置，以下证明可取 。

当 时：

一次多项式没有极值点和拐点，不使用上述拐点计数式。高次情形先把公式改写成结构式。

因为是不同实根的个数，所以极值点公式可写成，这就一下看清了：

• 每两个相邻实根之间，产生一个极值点；
• 每个偶重根本身，再额外贡献一个极值点。

这就是极值点计数的直观来源。

这和中学的“穿针引线法”是同一条线：

• 中学穿针引线法先看根两侧符号是否改变；
• 奇重根符号改变，图像穿过 轴；
• 偶重根符号不变，图像碰到 轴后回头；
• 考研这里继续往前走一步：不只判断正负，还要数“哪里产生驻点、哪里产生极值”。

所以极值公式最舒服的读法是：，而拐点个数公式可写成，这看起来还不够直观，所以更好的记法是：，因为 的拐点，就是 的极值点。

公式怎么证明

证明分三步最顺。

第一步：先证明极值点个数

把不同实根按大小排成，在不等于任何根的区间内，。这时可以考虑，两边对 求导，得到，这就是下面要用的式子。它只在根以外的开区间里使用，所以不会碰到除以 的问题。

记，在每个区间 上，，所以 严格递减。

并且当 时，，当 时，，所以在每个 中，恰好有一个点 使，也就是在每两个相邻实根之间，恰好有一个驻点，所以先贡献个极值点。

接着看各个根本身：

• 若 ，只是普通穿轴点，不是极值点；
• 若 为偶数，按单个重根的局部图像， 是极值点；
• 若 为奇数且 ， 在 两侧变号且 也变号，故 是非极值的拐点。

所以总极值点个数为

第二步：先看清 到底从哪里来

这里不要一上来就取对数求导，容易觉得 是凭空变出来的。直接用乘积求导最透明。

令，则，乘积求导是“每次只导其中一个因子，其余因子不动”：，而，所以

现在把所有项共有的最低次数因子提出来：，对第 项来说， 已经完全被提走；而每个 的因子被提走以后，还剩下一个，因此

于是自然定义，就得到。先把原来的根全部“降一阶”提走，求导后剩下的新因子就是。

如果用取对数求导，它只是上面这一串的速记。因为在不等于任何根的地方，

两边乘回 ，也会得到同一个 。但理解时最好先记乘积求导版。

第三步：再用 证明拐点个数

拐点是 的极值点，所以只要研究 的零点结构。

是一个 次多项式。因为每一项都是 次，最高次项系数加起来是，在每个区间 内，原来的根因子都不为 ，所以

另一方面，由罗尔定理，会在每个 中至少挤出一个点 ，使，这些点都不是原来的根，所以只能由 提供。又因为 只有 次，而这样的相邻根区间正好有 个，所以 在每个 中恰好有一个简单实根。

所以 的不同实根来自两部分：

1. 每个相邻根区间中各有一个，共

   个；

2. 每个满足 的原根 ，在 里还保留一个根，共

   个。

因此 的不同实根总数是，再看这些根在 里的重数奇偶性：

• 若原来 为偶数，则 为奇数，所以 在 中是奇重根；
• 若原来 为奇数且 ，则 为偶数，所以 在 中是偶重根。

于是， 的偶重根个数正好是，现在对多项式 再套用“极值点个数 = 不同实根个数减 1 再加偶重根个数”这一规则：

化简得，证毕。

怎么记忆

记忆法 1：先记极值公式的结构

极值点个数不要背这个样子，而要背成：，也就是

记忆法 2：拐点看导函数

不要直接背拐点公式，而要记成：，然后只要知道：

• 在每两个相邻原根之间有一个根；
• 原来的重根会在 里降一阶保留下来；
• 原来的奇重根（大于 1）会变成 的偶重根；

公式就能顺出来。

记忆法 3：一句压缩版

多个实根的几个例子

例 1：

这里

• 是 2 重根；
• 是 1 重根。

所以，极值点个数应为，的确，，有两个极值点 。

拐点个数应为，而，只有一个拐点 。

例 2：

这里，极值点个数应为，的确，，只有 对应极值； 是非极值的穿轴拐点。

拐点个数应为，而，有两个拐点 。

例 3：

这里，极值点个数应为，理解上就是：

• 两个偶重根 各自贡献一个极值；
• 它们之间还会再有一个极值。

拐点个数应为

结论压缩

记住下面两条即可重建计数公式：

链接

• 第 5 讲总览：第5讲：把导数翻译成图形语言
• 第 6 讲总览：第6讲：中值定理、辅助函数与证明构造
• 相关判定：极值与拐点的三个充分条件对比
• 题型训练：单调性、极值与局部主项