积分等式、零点存在与唯一性
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方法选择
- 将目标等式写成连续函数 ，分别证明端点异号或证明 的积分为零。
- 唯一性单独处理：计算 ，寻找严格单调性。
- 同时给出两个积分条件时，优先线性组合。若 ，则对任意常数 都有 。
- 目标式含“函数值乘积分”时，尝试构造两个变限积分的乘积，再使用 Rolle 定理。
必考
880 第3章综合解答 24
原题
设 在 上连续，且 证明：至少存在不同的 ，使得 .
解析
若 ，结论成立。以下设 不恒为零。
由 及连续性， 在 内取正值和负值。假设 在 内只有一个零点 ，则 在 两侧异号。因此 在 与 上同号，且不恒为零，从而，另一方面，
矛盾。故 内至少有两个不同零点。
880 第3章综合解答 25
原题
设 在 上二阶可导，且满足
证明：至少存在一点 ，使得 .
解析
令 ，则，假设对所有 都有 ，则 为凹函数，图像位于端点弦的上方：，于是 ，与已知矛盾。故至少存在 ，使，即 。
880 第3章综合解答 27
原题
设 在 上是非负连续函数.
（Ⅰ）证明：存在 ，使得在 上以 为高的矩形面积，等于在 上以 为曲边的曲边梯形面积；
（Ⅱ）又设 在(0,1)内可导，且 ，证明：（I）中的 是唯一的.
解析
令，(Ⅰ) 在 上连续，并且
若 ，任取 即可；若 不恒为零，连续函数 的积分为零，故它在 内既取正值又取负值，从而存在 使 。这正是，(Ⅱ) 对 ，，故 严格递增，零点至多一个。结合（Ⅰ）， 唯一。
880 第3章拓展题 4
原题
设 在 上可导且不恒为常数, . 证明: 至少存在一点 , 使得 .
解析
记 。
当 时，右端为负数，结论直接成立；当 时，由 及 Lagrange 中值定理，存在一点 ，结论也成立。
以下设 。由介值定理，存在 使 。反设对一切 都有，由 Lagrange 中值定理，，积分得
矛盾。故至少存在 满足题设严格不等式。
1000 基础篇第11章 1
原题
设 ，则在 上方程 的根的个数为（ ）.
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
解析
令
在 上，，故 严格递增。又
由介值定理，方程在 上有且只有一个根，选 。
1000 基础篇第11章 5
原题
设 , 连续, , 证明至少存在一点 , 使 .
解析
令，并构造 。由于 ，由 Rolle 定理，存在 使 。而，代入 即得所证等式。
1000 强化篇第11章 8
原题
设 在 上连续，在 内是函数 的一个原函数， 。
(1)证明 ;
(2)求方程 的实根个数
解析
(1) 由 及 ，，将负半波平移后与第一个正半波配对：
(2) 令，其中 在 处作连续延拓。则，在 上，，且 ，故正根只有 。
在 上，。又
故 内恰有一个负根。实根总数为 。
补充题
积分平均制造有序三点
原题
设在上有二阶导数，且
证明：存在，使。
解析
权函数在上严格为正，且，题设等价于。若在开区间内没有零点，其符号由连续性保持不变，积分不可能为。故存在使。
由，Rolle 定理给出使。由，Lagrange 中值定理给出使。再对在上使用 Lagrange 中值定理，存在满足，证明链条为：加权积分条件内点函数值两个有序导数值二阶导数符号。
中间点高于两侧
原题
设具有二阶导数，且
证明：至少存在一点，使。
解析
由积分中值定理，存在使，在和上分别使用 Lagrange 中值定理，得到
再对在上使用 Lagrange 中值定理，即得某个满足。
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