微分不等式与单调量

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题型总纲

• 对应积分因子 。
• 在 的区间对应 ； 在 的区间对应 。
• 在 的区间对应 。
• 找到单调量后，按自变量先后顺序比较，不跳过正因子的符号检查。

必考

880 第2章综合选择 18

原题

设在 上的可导函数 满足 , 且 , 其中 在 上为正值连续函数, 当 时, 下列选项中正确的是( ).

A. B. C. D.

解析

选 A。令，则，故 （），从而 。再由可知 严格递增，因此 。

1000 基础篇第6章 14

原题

设 是连续可导函数, 当 时, 恒有 , 则( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

选 B。因 ，，所以 严格递减。由 ，，即 。

1000 基础篇第6章 17

原题

设 , 为恒大于零的可导函数, 且 , 则当 时, 下列不等式恒成立的是().

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

选 D。由 ，

当 时，，交叉相乘得 。

1000 强化篇第6章 5

原题

设正值函数 二阶可导且满足 ，函数 在 处取得极值1，证明 .

解析

题意为 在 处取得极值 ，故，因 ，令，题设给出，所以 严格递减，且 。

当 时，，当 时， 于 ，故，仍得 。因此 （），且 。

1000 强化篇第6章 8

原题

设函数 在区间 上可导，且 ，则（ ）.

(A) (B) (C) (D)

解析

选 B。令 ，则，由 ，，所以 。

1000 强化篇第6章 9

原题

若可导函数 满足 ，则当 时，有（ ）.

(A) (B) (C) (D)

解析

选 B。令 ，则 。因 ，有 ，故，即，整理得 。

拓展

1000 基础篇第6章 8

原题

设函数 可导，且 ，证明 .

解析

对任意 ，由中值定理，存在 ，使，因此

相关概念

• 微分不等式：积分因子与单调量