Rolle 辅助函数与端点配平
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题型总纲
目标式含 时，寻找积分因子 ，使与目标式只差一个处处非零的因子。随后检查辅助函数在两个端点取值相同。
必考
880 第2章基础解答 12
原题
设 在 上连续，在 内可导，0 < a < b，且 ，证明：
(I) 至少存在一点 ，使得 ;
(Ⅱ) 至少存在一点 ，使得 .
解析
这是辅助函数构造的代表题。
(I) 目标式来自乘积 ：，令 。由 得 。Rolle 定理给出 ，使 。因 ，故，(Ⅱ) 目标式来自 ：，令 ，仍有 。由 Rolle 定理存在 ，使 ，即
方法模板： 对应 ； 常与 对应。构造完成后必须写出连续、可导和端点等值。
880 第2章基础解答 13
原题
设 在 上连续，在 内可导， ，且 ，证明：至少存在一点 ，使得 .
解析
令，因 且 在 上有界， 在 处连续，并有，对 ，，由 Rolle 定理存在 使 。前面的因子非零，故目标式成立。
这里的指数 同时来自区间左端点；使用 可保证底数为正。
880 第2章基础解答 18
原题
设 在 上连续，在 内可导，且 . 证明：
(Ⅰ) 存在 ，使得 ;
(Ⅱ) 存在 与 ，且 ，使得 .
解析
(Ⅰ) 令 。有，由零点定理，存在 ，使 。
(Ⅱ) 分别在 、 上使用拉格朗日中值定理，存在，使
于是
并且 ，两点必相异。
1000 基础篇第6章 20
原题
设 在 上连续，在 内可导 ，证明：在 内 至少有一个实根.
解析
对 与 在 上使用 Cauchy 中值定理。由于 ，。存在 ，使，整理得，当目标同时含函数增量与 的幂差时，直接选择对应幂函数作 Cauchy 中值定理的第二个函数。
拓展
1000 强化篇第6章 3
原题
设 在区间 上可导, , , 且 不恒等于 . 证明: 存在 , 使得 .
解析
令 。有 ，且 不恒为零。
若存在 使 ，在 上使用中值定理，存在 ，使，若某个 满足 ，在 上使用中值定理，同样得到某点 满足 。
因此总有 。
相关概念