无穷区间与导数极限边界
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题型总纲
- 无穷远不是区间端点。存在性证明先选取有限的 ，再在 上使用极值定理、Rolle 定理或中值定理。
- 有极限不能保证 有极限；振幅趋零且频率增大的函数给出标准反例。
- 若 ，导数最终保号且离零有正距离，中值定理可推出 无界。
- 固定长度增量满足 ；随 增长的区间长度还需控制“长度乘导数”。
必考
880 第2章基础解答 14
原题
设 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：至少存在一点 ，使得 .
解析
这是无穷区间存在性证明的代表题。
若 ，任取 即可。若 不恒为零，存在 使 。
先设 。由 ，可取 ，使，同时 。连续函数 在 上取得最大值，且最大值不能在 处取得。因此存在 ，使 在 处取得最大值。由费马定理，。
若 ，取 使 ，于是 ，同时 。因此 上的最小值在内部取得，费马定理同样给出一个导数零点。
方法模板：已知 时，先处理常值函数；再找一个偏离极限值的中间点，选取足够大的有限端点 ，使内部点高于两端或低于两端，最后用内部极值和费马定理。
880 第2章基础解答 15
原题
设 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：至少存在一点 ，使得 .
解析
令，题设给出 、。 时，因 且 ，有 。
若 ，任取 。
若存在 使 ，取充分大的 ，使 。于是 在 上的最小值于某个 取得，故，而 ，结论成立。
目标为 时，优先研究差函数 。
880 第2章综合选择 11
原题
设 在 内可导, 则下列命题中正确的是( ).
A. 若 ，则必有
B. 若 ，则必有
C. 若 ，则必有
D. 若 ，则必有
解析
选 D。
若 ，存在 ，使 时 。对任意 ，由中值定理，存在 ，使，所以 。
A、C 可由 否定：函数在相应方向趋于无穷，导数恒为 。B 中若 （），函数实际被迫趋于 ；例如 。
1000 基础篇第6章 9
原题
设函数 在 上一阶导数连续， ，则（ ）.
(A)
(B)
(C)
(D)
解析
选 C。对 使用中值定理，存在 ，使，当 时，，故右端趋于 。
区间 的长度为 ，只能得到 ；条件 无法控制该乘积。取 即可否定 B。
1000 基础篇第6章 11
原题
设 ，计算 ，并指出与第10题的区别.
解析
由 ，
第 10 题额外给出 在 处连续，该条件对本极限没有作用；导数定义已经足够。
1000 强化篇第6章 1
原题
设 在 内可导, 对于以下结论:
①若 存在，则 存在；
②若 存在，则 存在；
③若 ，则 在 时无界；
④若 , 则 在 时有界.
正确的个数为( ).
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
解析
选 A，只有③正确。
沿 与 分别趋于 与 。
- ②反例：，导数极限存在，函数没有有限极限。
- ③若 ，则导数最终与 同号且 ，中值定理给出至少线性的增长或下降。
- ④反例：，有 ，而 无界。
1000 强化篇第6章 2
原题
设 在 内可导, 对于以下结论:
①若 存在， 存在，则
②若 存在，则
正确的说法是( ).
(A)①正确,②错误
(B)①错误,②正确
(C)①与②均正确
(D)①与②均错误
解析
选 C。
①设 、。若 ，则 最终保号且 ，由中值定理可知 无界，与 矛盾，故 。
②设 。令 ，则，给定 ，取 使 时 。由
可知 在 上递减，因此
同理，
故
令 ，得到 、。再令 ，可得 ，即 ；最后由 得 。该证明只使用可导性和导数保号对应的单调性。
拓展
1000 基础篇第6章 10
原题
设函数 在 处一阶导数连续，且 ，则 ____.
解析
答案为 。拆成导数定义与基本极限：
在 处连续属于冗余条件。
1000 强化篇第6章 4
原题
设函数 在 上可导.
(1) 若 ，求证：存在 ，使 ；
(2) 若 ，求证：存在 ，使 .
解析
(1) 与本页代表题相同：常值情形直接成立；非常值情形选取偏离零的点，再用无穷远极限选有限端点，制造内部极值。
(2) 记，有 、，并且 。由夹逼定理 ，故 。若 ，任取 即有 ；否则 在某个有限区间内取得负的内部最小值 ，从而 。计算，即得所证等式。
对话中的边界
函数值趋于有限极限只控制振幅。反例 通过“振幅趋零、频率增大”使导数持续振荡。若再给出 存在，该极限只能为 。
相关概念