导数介值性与有序中值点
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题型总纲
- 导函数可以不连续，但具有介值性。
- 证明 时可令 ，利用端点附近的增减方向制造内部极值。
- 要求两个中值点有先后顺序时，先在左右两个子区间取得导数值，再利用整体割线斜率是两段割线斜率的加权平均。
必考
880 第2章综合解答 6
原题
设 在 上可导, 证明:
(I) 若 ，则存在 ，使得 ；
（Ⅱ）若 ，则对介于 和 之间的每个实数 ，都存在 ，使得 。
解析
这是导数介值性的代表题。
(I) 不妨设，由导数定义，存在充分小的 ，使，因此 在 上的最大值不能只在端点取得，必有某个内部最大值点 。费马定理给出 。另一种符号排列使用内部最小值。
(Ⅱ) 任取严格介于 与 之间的 ，令，则异号。由第 (I) 问，存在 使 ，即 。
这个证明没有使用 连续；介值性来自原函数在闭区间上的极值结构。
880 第2章综合解答 20
原题
设 在 上连续，在 内可导，且 . 证明：
(I) 存在 与 满足 ，使得 .
(Ⅱ) 在(0,1)内存在 与 ，使得 .
解析
(I) 分别在 与 上使用中值定理。存在
使
两式相加即得 ，且 。
(Ⅱ) 先在 上用中值定理，存在 ，使，再在 上用中值定理，存在 ，使，故
1000 基础篇第6章 22
原题
设函数 在 上可导， ，证明：
(1)存在一点 ，使得
(2)存在一点 ，使得 且 。
解析
(1) 在 上使用拉格朗日中值定理，存在 ，使，(2) 再在 上使用中值定理，存在 ，使，记这两个割线斜率为 ，整体割线斜率为 。则，若 ，取 ，此时 且 。
若 ， 严格介于 与 之间。由导数介值性，存在使 。于是 ，并且，关键结构：整体割线斜率是左右两段割线斜率的严格加权平均，导数介值性负责在两个已知中值点之间实现该平均值。
加权平均的离散形式与严格性：加权平均与单调型洛必达。
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