导数介值性

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Darboux 定理

若 在区间内可导，，则存在 位于 之间，使，导函数可以不连续，但不能跳过中间值。

极值证明

令，则在两端异号。按 的次序，有 ：从左端向区间内部移动时 下降，从右端向区间内部移动时 也下降。因此两个端点都不能取得闭区间最小值，最小值必在内部取得。费马定理给出 。

若两个端点的导数符号次序相反，则同理制造内部最大值。

该证明只使用原函数连续与可导，不要求 连续。

代表题：导数介值性的完整证明。

有序中值点

将区间在 处分成两段，先由中值定理得到

整体割线斜率是 的加权平均。若二者不同，Darboux 定理在 内实现 ，从而自动得到中值点顺序。

代表题：整体割线斜率与有序中值点。

使用边界

• 连续函数具有介值性；导函数也具有介值性。
• 一般函数的左右极限异号不能直接推出导数零点，先确认对象连续或具有 Darboux 性质。
• 构造导函数反例时不能使用跳跃函数。

题型训练

• 导数介值性与有序中值点
• 点态导数与邻域导数性质