点态导数、邻域性质与导函数边界
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判定原则
直接控制的是以 为端点的局部割线：充分小的 满足 ，充分小的 满足 。要推出整个邻域内单调，需控制邻域中每一点的导数符号。
必考
880 第2章基础选择 13
原题
设 连续，且 ，则存在 ，使得（ ）。
- A. 任意 都有
- B. 任意 都有
- C. 在 内单调减少
- D. 在 内单调增加
解析
由导数定义，存在 ，使 时，故 ，选 。
C、D 需要比较邻域内任意两点，单个点的导数信息不足。可导函数的导数在 附近可以频繁变号，同时仍满足 。
880 第2章综合选择 6
原题
设 在 内可导，且，则（ ）。
- A. 存在
- B. 不存在
- C.
- D. 是 的极小值
解析
由可导性和已知极限，先得 ，且，又因为 ，充分小的 满足 ，所以 是严格局部极小值，D 正确。
不能对等价式 直接求导。例取
则 ，但无极限， 也不存在。故 A、C 均不能推出，B 也并非必然；选 。
880 第2章综合选择 19
原题
设，则（ ）。
- A. 在 处必可导且
- B. 在 处必连续但不可导
- C. 在 处必存在极限但不连续
- D. 分别在 的去心左邻域与去心右邻域内单调递增
解析
导数的两个单侧极限为 ，故在充分小的去心左右邻域内都有 。由单调性判定， 在两个区间内分别严格递增，D 正确。
题设没有控制 。例如令 （）、，则去心导数恒为 ，但函数在 不连续，可否定 A、B。再令
去心导数仍恒为 ，而函数在 的双侧极限不同，可否定 C。故只有 D 必然成立，选 。
1000 强化篇第3章 17
原题
设 在 的某邻域内有定义，在 的某去心邻域内可导。下述论断正确的是（ ）。
- (A) 若 ，则
- (B) 若 ，则
- (C) 若 ，则 不存在
- (D) 若 不存在，则
解析
A 缺少 在 处连续，可通过单独改动 反驳。B 把点态可导误当成导函数连续。D 也无依据。
若 C 中 存在，则 在 连续。对任意充分小的 ，在 与 之间用拉格朗日中值定理，存在 使， 时 。右端趋于无穷，左端却应趋于有限的 ，矛盾。因此 C 正确，选 。
条件核验：上述中值定理使用了 存在，从而 在包含端点 的小闭区间上连续。
对话补充
能推出单调性，不能推出凹凸性
原题
设 在 处二阶可导，，且，说明该条件能推出的局部单调性，并判断能否推出零点邻域内的凹凸性。
解析
记 。由二阶可导，
因此
极限有限先给出 ，随后极限值给出 。于是，充分小的 满足 ，充分小的 满足 。故 在某个左邻域内递减、右邻域内递增， 是严格局部极小值点。
凹凸性要求在某个区间内控制 的符号。题设只给出 ，没有给出 。反例为
它满足原极限，且 ；去心邻域中的 含有 ，在零点附近反复变号。因此不能推出邻域凹凸性。若补充 在 处连续，则可由保号性得到 的小邻域。
注
在 处二阶可导：
在 处可导，所以 在 处连续； 在 处可导，所以 在 处连续；但只能知道 数存在，完全不能推出 在 处连续，甚至不能推出 在 的某个去心邻域内处处存在。
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