零点附近振荡函数的振幅与正则性

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基本模型

设

由 ：

• 时 在 连续；
• 时 ；
• 去心导数中的最坏项阶数为 ，故 时 。

边界等号通常保留振荡，不能写成收敛。

代表题：$x^k\sin(1/x)$ 的可导层级、一般振荡频率下的导函数连续性。

点处导数与导函数极限

只由决定。 在 连续还要计算 时的 ，链式法则会额外损失幂次（如在求导时，内部 有产生了，与导数定义的 不同）。

代表题：可导但导函数振荡。

平坦因子

对任意 ，，每次求导只会产生 的有限次幂，因此仍趋于零。零点处所有阶导数均为零，但函数在去心邻域为正，说明 函数可以不等于其 Taylor 级数。

代表题：平坦函数的全部零点导数。

题型训练

• 最高可导阶与振荡平坦因子
• 点态导数与邻域边界
• 振幅对比图