考研笔记

函数图像对比：、、

一句话结论

这三类函数的共同点是“越靠近 0 振荡越密”，差别只在振幅有没有被压下去：不压就不连续，压到 量级就连续但未必可导，压到 量级就连差商也能一起压到 0。

核心内容

统一把讨论点放在 。

1. ：不连续

函数在 本身没有定义。更关键的是，就算你强行补一个值，比如补成 ，它也不会连续。

原因很直接：

  • 当 时， 的绝对值越来越大；
  • 所以 会越来越快地在 之间来回摆动；
  • 但振幅没有任何缩小。

因此它在 不存在极限，所以谈不上连续，更谈不上可导。

2. ：连续但不可导

定义

先看连续性。由立刻得到，所以它在 连续。

但它在 不可导。因为差商是

这个极限不存在，所以不存在。

结论是：

  • 原函数连续；
  • 但切线斜率没有稳定下来；
  • 所以不可导。

3. ：可导

定义

先看连续性。由得到，所以它在 连续。

再看可导性。差商为

而，所以，这就是为什么多乘一个 后，原来压不住的差商也被压住了。

不过还要多记一句：可导不等于导函数连续。对 ，，这个式子在 附近仍然会因为 持续振荡而不连续。

最小例子 / 图示 / 代码

看图时按这个顺序：

  1. 先看左图：振荡密度变大，但高度没缩，所以无极限。
  2. 再看中图：被夹在 之间，连续性出来了，但差商仍然抖。
  3. 最后看右图：被夹在 之间，连差商都能被进一步压到 0。

易错点 / 使用边界

  • 连续，不代表可导。
  • 在 0 可导，不代表导函数在 0 连续。
  • 这三题的核心不是“振荡有没有消失”，而是“振幅衰减得够不够快”。
  • 判断可导时，不要只看原函数值有没有压到 0，要看差商还能不能压到 0。

链接

反向链接