点态导数与邻域导数性质

点态导数直接控制什么

若，则由导数定义，存在，使

该结论只比较与邻近点。邻域单调性需要比较邻域内任意两点，通常要证明该邻域内处处有或处处有，在处连续是一个充分条件。

若、，则，所以在左侧为负、右侧为正，左减右增，为严格局部极小值点。

该条件只给出。要断言某个邻域内严格凸，还需控制邻域中的符号；补充在处连续即可得到局部保号，这也是一个充分条件。

若在的去心邻域可导、在连续，且，则对与使用中值定理，有，故。连续性不能省略；单独改变就能破坏可导性（如，但令，那么对所有都有，所以，可在不连续，更不可导）。

若，则不可能为有限数。反证时同样使用上式。

导函数可以不连续，但具有 Darboux 介值性。构造反例时，导函数可以振荡或无界，不能设置真正的跳跃间断。