考研笔记

原函数存在定理与导函数介值性：充分条件和必要条件

这一页在记什么

“连续函数一定有原函数”和“导函数不能跳”看起来很像，其实它们分别在说导函数世界的两侧：

  • 一侧在给充分条件；
  • 一侧在给必要条件。

逻辑链

若 连续，则存在原函数满足，而只要 ，则 一定具有介值性。

所以有

连续存在原函数具有介值性

两个箭头都不能反过来

1. 有原函数不推出连续

导函数可能不连续，例如

它可导，但 在 不连续。

2. 具有介值性也不必然有原函数

介值性只是必要条件，不是充分条件。它只能排除“有跳”的函数，不能直接保证某个函数一定就是导函数。

这页真正值钱的判断

若函数连续

一定能当某个原函数的导数。

若函数有跳跃或可去间断

一定不能当导函数。

若函数只是震荡

不能直接排除。它可能仍然是某个导函数。

一句最该记住的话

原函数存在定理给的是“安全区”，导函数介值性给的是“禁区”。

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