Taylor 公式与导数估计

题型总纲

原题

设在上二阶可导，在内取得最小值，证明：，

解析

设在处取得最小值。由费马定理，。

对分别在、上使用中值定理，得到

相加即得

原题

设在上具有二阶导数，且，其中都是非负常数，是内任一点.

（I）写出在 x = c 处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；

(Ⅱ) 证明： .

解析

(I) 对任意，存在介于与之间的，使，(Ⅱ) 这是双端点展开消元的代表题。分别令与：

两式相减后整理：，故，方法模板：要估计内部点导数时，向两个端点各写一次 Taylor 公式；系数会使单独留下。

原题

设在上二阶可导， . 证明：

(1) ; (2) 若，则 .

解析

(1) 固定，分别在处向端点展开：

两式相减并估计：，(2) 在子区间上重复第 (1) 问的证明，区间长度为，得到，在上同理。因此整个上都有。

原题

(1) 将在 x = 0 处展开成一阶带拉格朗日余项的泰勒公式；

(2) 证明 , .

解析

(1) 一阶 Taylor 公式为，其中介于与之间。

(2) 因，，当时除以，得到