无界区域与几何积分极限

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方法选择

先确认无界方向与被积函数的实际定义区间。
面积使用 $上下$ ；绕竖直轴旋转时，壳层法常可直接保留原积分区间。
图形由无穷多个相似部分组成时，先求第块，再判断能否化为等比级数。
面积或体积含参数时，先求出参数函数，再研究其单调性与端点趋势。

必考

880 第3章综合解答 45

原题

设位于曲线下方, 轴上方的无界区域. 求:

(Ⅰ) D 的面积 ;

(Ⅱ) 的最小值.

解析

令，则

记，则，由于，方程有唯一解，在上为负，在上为正，故

参数积分先完整算成，随后对求导，可同时处理幂函数与参数位于指数中的情形。

1000 强化篇第10章 6

原题

过坐标原点作曲线的切线, 该切线与曲线以及轴围成的向轴负向无限伸展的图形记为 .

(1)求的面积;

(2) 求 D 绕直线 x = 1 旋转一周所成的旋转体体积.

解析

设切点横坐标为，切线为，切线过原点，故，切线为。

(1) 当时，区域位于与轴之间；当时，区域位于与之间。因此

(2) 绕旋转，使用柱壳法：

绕竖直轴使用壳层法，半径统一为，只需按区域上下边界分段。

拓展

1000 基础篇第10章 5

原题

平面无界区域的面积为 ____.

解析

由条件得，故

1000 基础篇第10章 13

原题

曲线绕轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积为 ____.

解析

圆盘半径为，故

这里使用，其中。

1000 强化篇第10章 7

原题

求曲线绕轴旋转一周所成旋转体的体积.

解析

实函数曲线只在的区间存在，即由，

根号中的决定曲线的定义区间，不能把积分直接写在整个上。

1000 强化篇第10章 10

原题

当时, 在曲线上面作一个台阶曲线, 台阶的宽度皆为 1(见图). 则图中无穷多个阴影部分的面积之和 ____.

解析

在区间上，位于曲线上方的台阶高度为左端点函数值。第个阴影面积为，因此

阴影总面积等于全部上矩形面积减去曲线下方面积。

补充题

衰减振荡曲线围成的总面积

原题

求曲线，与轴围成的全部图形面积之和。

解析

零点为。第段的有向积分为

故该段面积为，各段面积构成公比为的等比级数，因此

“与轴围成的面积”要求积分，必须先按零点分段。

考研笔记