反常积分补偿收敛与自洽方程

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方法选择

差式反常积分先比较无穷远主项；项必须完全抵消，随后才能计算积分值。
被积函数含未知总积分时，先设总积分为常数，代回并积分，得到关于的代数方程。
“积分收敛能否推出点态极限”要检查非负性、连续性和一致正则条件；有界导数通常用于排除过窄尖峰。

必考

880 第3章基础选择 12

原题

已知，则().

解析

被积函数化为，无穷远处的项收敛必须满足。此时

所以，选。

880 第3章基础填空 13

原题

设为正数, , 则 ____.

解析

左端指数型极限为，右端

约去，得，所以。

880 第3章综合选择 15

原题

已知收敛, 则( ).

解析

无穷远处，故收敛要求。此时

选。

880 第3章综合解答 16

原题

设收敛, 且 , 求 .

解析

设。对函数关系两端积分：

令，得，因此

1000 基础篇第9章 30

原题

设收敛, , 则 .

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

设。积分函数关系：

两个积分分别为与，所以

选。

1000 强化篇第8章 11

原题

若函数存在, 则该函数的最小值点为 .

(A) (B) (C) (D)

解析

令：

对数求导：，唯一驻点为

且，故为最小值点。选。

1000 强化篇第8章 13

原题

设非负函数在上具有有界导数，给出以下四个命题：

①若收敛，则收敛；②若收敛，则收敛； ③若存在，则收敛；④若收敛，则存在.

其中,真命题的个数为().

(A) 1

(B) 2

(D) 4

解析

①错误：满足条件，收敛而发散。

②正确：有界导数使一致连续；非负函数积分收敛可推出。于是充分大时。

③正确：若为有限值，则尾部。

④错误：可在趋于无穷的稀疏位置构造斜率统一有界、面积总和收敛的三角形尖峰，使沿不同数列取值不同。

真命题共个，选。

考研笔记